Bonjour,
1) Si x₀ est une racine non nulle de P, alors : P(x₀) = 0
Or, P étant réciproque : P(1/x₀) = 1/x₀ⁿP(x₀)
On en déduit : P(1/x₀) = 0
Et donc 1/x₀ est une aussi une racine de P.
2) a) P(1/x)
= 4(1/x)⁴ - 12(1/x)³ + (1/x)² - 12(1/x) + 4
= (1/x⁴)[4 - 12x + x² - 12x³ + 4x⁴]
= (1/x⁴)P(x)
⇒ P est réciproque
b) X = x + 1/x pour x ≠ 0
⇒ X² = (x + 1/x)²
⇔ X² = x² + 2*x*1/x + (1/x)²
⇔ X² = x² + 2 + (1/x)²
⇔ X² - 2 = x² + (1/x)²
c) P(x) = x²(4x² - 12x + 1 - 12/x + 4/x²)
d) (E) : P(x) = 0
P(0) = 4 ⇒ 0 n'est pas solution de (E)
⇒ (E) ⇔ 4x² - 12x + 1 - 12/x + 4/x² = 0
⇔ 4(x² + 1/x²) - 12(x + 1/x) + 1
Donc, en posant X = x + 1/x :
(E) ⇔ (E₁) : 4(X² - 2) - 12X + 1
⇔ 4X² - 12X - 7 = 0
e) Δ(E₁) = (-12)² - 4x4x(-7) = 144 + 112 = 256 = 16²
Donc (E₁) a 2 solutions :
X₁ = (12 - 16)/8 = -1/2 et X₂ = (12 + 16)/8 = 7/2
On en déduit les solutions de (E) :
x + 1/x = -1/2 ⇔ 2(x² + 1) = -x ⇔ 2x² + x + 2 = 0 pas de solution réelle
ou :
x + 1/x = 7/2 ⇔ 2(x² + 1) = 7x ⇔ 2x² - 7x + 2 = 0
Δ = 49 - 16 = 33
donc 2 solutions à (E) :
x₁ = (7 - √33)/4 (≈ 0,314)
et x₂ = (7 + √33)/4 (≈ 3,186)
