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Bonjour, j'ai un devoir de Math à rendre mais je suis plutôt nul dans cette matière donc un petit coup de pouce me serai d'une grande aide !

On considère un carré ABCD de côté 10 cm. Sur le côté [ AB ], on place un point L.
On pose AL = x ( en cm ) et on place sur[ DA ] un point P tel que DP = x cm. On construit alors le triangle LCP.
Le but est de déterminer s'il existe un triangle LCP d'aire minimale et si oui lequel.
on appelle f la fonction qui à tout x de [ o ; 10 ] associe l'aire de LCP.

1.a. Exprimer en fonction de x les longueurs des segments AL, BL, DP puis AP.
b. Exprimer en fonction de x les aires des triangles ALP, LBC et CDP.
c. En déduire l'expression f(x) de l'aire du triangle LCP.

2.a. Justifier que pour tout x de [ 0 ; 10 ], f(x) > 37,5
b. Peut-on avoir f(x)= 37,5
c. Existe-t-il un triangle LCP d'aire minimale ?
Si oui, préciser les propositions des points L et P. ( c'est-à-dire préciser les longueurs AL et AP )

( Aire d'un triangle = ( base x hauteur ) / 2 )

Sagot :

Bonjour

Je crois qu'une de mes amies a eu un exercice similaire au lycée et qu'on en avait parlé à l'époque ^^

Je te conseille de faire une petite figure au crayon et ça deviendra vraiment clair.

1.a) AL = DP = x

BL = AP = 10 - x

1.b) Ces 3 triangles sont rectangles donc leur aire est facile à calculer. Elle vaut la moitié de l'aire du carré qu'on formerait en collant un deuxième triangle rectangle identique contre le premier (hypoténuse contre hypoténuse).

On a [tex]Aire(ALP) = \frac{x*(10-x)}{2}[/tex]

[tex]Aire(LBC) = \frac{10*(10-x)}{2}[/tex]

[tex]Aire(CDP) = \frac{10*x}{2}[/tex]

1.c) Regarde ta figure, je te laisse trouver la méthode, sachant qu'on arrive à

[tex]f(x) = \frac{1}{2} x^{2}-5x+50[/tex] il me semble ;)

2.a) Il faut d'abord calculer la dérivée de f : f'(x) = x - 5

Il faut d'abord regarder si elle s'annule sur l'intervalle [0;10], et c'est le cas : elle s'annule en x = 5. Sur [0;5] f' est négative donc f est décroissante, et sur [5;10] f' est positive donc f est croissante.

le minimum de f est donc en x = 5 et vaut f(5) = 12,5 - 25 + 50 = 37,5

2.b) On vient de montrer que oui

2.c) La conclusion est donc que oui : lorsque x = 5, et cette aire vaut 37,5 cm^2. Cela correspond à AL = 5 cm et AP = 5 cm.

Voilà, bonne journée :)

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