Bonjour;
1)
f(x) = x² - 4x + 3 = x² - 4x + 4 - 1 = (x - 2)² - 1 .
La fonction f est une fonction polynôme de second degré ,
dont le coefficient de second degré est : 1 > 0 , donc sa courbe
représentative est une parabole qui admet un minimum au point
d'abscisse x = 2 et dont l'ordonnée est : - 1 ;
donc f est strictement décroissante sur ] - 2 ; 2 [ ,
et strictement croissante sur ] 2 ; 6 [ .
2)
Veuillez-voir le fichier ci-joint .
3)
L'équation réduite de la droite (D) est : y = ax + b ,
et comme (D) passe par le point A(0 ; - 6) , donc on a : - 6 = 4 * 0 + b ;
donc : b = - 6 ; donc : y = ax - 6 .
4)
L'abscisse x du point d'intersection vérifie l'équation suivante :
x² - 4x + 3 = ax - 6 ou bien : x² - (4 + a)x + 9 = 0 .
5)
Δ = (4 + a)² - 36 = 16 + 8a + a² - 36 = a² + 8a - 20 .
P et (D) ont un seul point d'intersection si l'équation
x² - (4 + a)x + 9 = 0 à une seule solution , c - à - d si
Δ = 0 ; c - à - d si : a² + 8a - 20 = 0 .
On a donc : Δ' = 8² + 4 * 20 = 64 + 80 = 144 = 12² ;
donc on a soit : a = (- 8 + 12)/2 = 2 soit : a = (- 8 - 12)/2 = - 10 .
6)
Les équations des tangentes à P sont donc les droites (D)
ayant pour coefficient : a = 2 ou : a = - 10 .
Pour : a = 2 , le point d'intersection vérifie l'équation : x² - 6x + 9 = 0 ;
c - à - d (x - 3) ² = 0 , c - à - d : x = 3 .
L'équation de la tangente est : y = 2x - 6 .
Pour : a = - 10 , le point d'intersection vérifie l'équation : x² + 6x + 9 = 0 ;
c - à - d (x + 3) ² = 0 , c - à - d : x = - 3 ∉ [ - 2 ; 6 ] ;
donc ce cas n'est pas à considérer .
7)
Les coordonnées du point B sont : 3 et 2 * 3 - 6 = 6 - 6 = 0 .
