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Montrer que, pour tout x de l'intervalle ]0,+infini[, f'(x)>0. Avec f'(x) = 1-((x-2)-2x)/(x-2)²

Sagot :

Danielwenin

simplifiée la dérivée donne [tex]\frac{x^2-x+6}{(x-2)^2^}[/tex]

le réalisant du numérateur est négatif donc le numérateur est toujours positif

le dénominateur est positif également car carré parfait.

donc la dérivée est positive

Lechim31270

Bonjour,

 

[tex]f(x)=1-\frac{x-2-2x}{(x-2)^2}=\frac{(x-2)^2-x+2+2x}{(x-2)^2}=\frac{x^2-3x+6}{(x-2)^2}[/tex]

 

Déja la valeur x=2 est interdite car elle annule le dénominateur.

 

[tex](x-2)^2[/tex] est toujours >0 car c'est un carré.

 

[tex]x^2-3x+6[/tex] est un polynome du 2ème degrĂ© de la forme [tex]ax^2+bx+c[/tex]

 

On calcule delta :^

 

[tex]delta = b^2-4ac=(-3)^2-4\times6\times1=-15[/tex]

 

Si delta est négatif, le polynome n' a pas de racines.

 

Comme a est positif, la concavité de sa courbe est orientée vers le haut et le polynome est toujours positif.

 

Donc f(x) est toujours positif sauf pour x=2

 

A+

 

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