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Camille2708
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Bonjour , pouvez-vous m'aider pour cet exercice ? Svp
Pouvez-vous m'expliquer en détails ce que vous faites ? Merci bcp

Soit z = x + iy avec x et y réels et Z = z+3i / z+2 (fraction) et z différent de -2

→ Ecrire Z sous la forme algébrique , soit sous la forme Z = X +iY avec X et Y réels


Sagot :

écrire Z sous la forme algébrique

Z = (z + 3i)/(z+ 2)   et z ≠ - 2

sachant que z = x + iy  avec x et y des réels

Z = (x + iy + 3i)/(x+iy+2) ⇔ Z = (x + i(y+3))/( (x + 2) +iy)

⇔ Z = (x + i(y + 3))((x + 2) - iy)/((x+2)+iy)((x+2)-iy)

⇔ Z = (x + i(y + 3))((x + 2) - iy)/((x+2)² -i²y²)

⇔ Z =  (x + i(y + 3))((x + 2) - iy)/((x+2)² + y²)    car i² = - 1

       = [x(x+ 2) - ixy + i(y+ 3)(x+2) - i²y(y+3)]/((x+2)² + y²)

       = x² + 2 x -ixy + i(xy + 2y + 3x + 6) + y²+3 y]/((x+2)² + y²)

       = x² + 2 x -ixy + ixy + i2y + i3x + 6i + y²+3 y]/((x+2)² + y²)

      = [(x²+y²+2x +3y) + i(3x + 2y + 6)]/(x² + y² + 4 x + 4)

     = [(x²+y²+2x +3y)/(x² + y² + 4 x + 4) + i(3x + 2y + 6)/(x² + y² + 4 x + 4)


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