x > y x² + y² ; 2xy ; x² - y² on compare ces nombres
pour comparer deux nombres on peut calculer leur différence.
a) (x² + y²) - 2xy = x² - 2xy + y² = (x- y)²
(x- y)² carré donc un nombre positif
la différence (x² + y²) - 2xy est positive (x² + y²) > 2xy
(x² + y²) - (x² - y²) = x² + y² - x² + y² = 2y² 2y² est positif
x² + y² > x² - y²
le plus grand des 3 nombres est x² + y²
Pour démontrer que c'est un carré Pythagoricien je vais calculer la somme des carrés des deux plus petits nombres et montrer qu'elle est égale au carré du plus grand. (a² + b² = c²)
(x² - y²)² + (2xy)² = (x⁴ - 2x²y² + y⁴) + 4x²y²
= x⁴ - 2x²y² + y⁴ + 4x²y² = x⁴ + 2x²y² + y⁴ = (x² + y²)²
conclusion : (x² - y²)² + (2xy)² = (x² + y²)²
a² + b² = c²
on peut alors trouver des nombres qui sont les mesures des côtés d'un triangle rectangle avec : x² + y² ; 2xy et x² - y²
1er exemple x = 2 et y = 1
x² + y² => 2² + 1² = 4 + 1 = 5 ; 2xy => 2x2x1 = 4 ; x² - y² => 2² - 1² = 3
on reconnait le triplet classique des triangles rectangles 3 ; 4 ; 5
2e exemple x = 3 et y = 2
x² + y² => 3² + 2² = 13 ; 2xy => 2 x 3 x 2 = 12 ; x² - y² => 3² - 2² = 5
encore un triplet connu : 13² = 12² + 5² (169 = 144 + 25)
je te laisse trouver les autres
