Réponse :
Bonjour,
suite à a demande en bas d'une de mes réponses, je te fais ce qui est ci-dessous. Mais je suis sûr que ton prof attend d'autres démonstrations. Et je ne vois pas lesquelles puisque je ne connais pas ton cours.
Explications étape par étape
a) J'appelle la fct : f(x) . OK ?
Le dénominateur est toujours strictement positif donc pas de valeur interdite
donc Df=IR
b) f(x) n'est pas une fct de référence donc on ne peut pas donner directement ses variations.
On part de f(x)=1 - 1/(x²+1) et on réduit au même déno :
f(x)=[1(x²+1)-1]/(x²+1)=x²/(x²+1)
On retrouve la fct donnée au départ.
Variations de g(x)= x²+1 :
Je te redis que je ne connais ni ta classe ni ton cours. Je te donne donc un raisonnement qui marche quel que soit ton niveau :
Soient a < b ≤ 0 :
a² > b² ≥ 0 car la fct carrée est décroissante sur ]-inf;0]
a²+1 > b²+1 ≥ 1
g(a) > g(b)
Sur ]-inf;0] , on est parti de a < b pour arriver à g(a) > g(b) donc la fct g(x) est décroissante sur cet intervalle.
Soient 0 ≤ a < b :
0 ≤ a² < b² car la fct carrée est croissante sur [0;+inf[
1 ≤ a²+1 < b²+1
g(a) < g(b)
Sur [0;+in[, on est parti de a < b pour arriver à g(a) < g(b) donc la fct g(x) est croissante sur cet intervalle.
Conclusion :
x²+1 est décroissante sur ]-inf;0] et croissante sur [0;+inf[
Mais je ne vois pas comment déduire les variations de f(x) pour autant.
Je continue ma méthode :
Soient a < b ≤ 0 :
a² > b² ≥ 0 car la fct carrée est décroissante sur ]-inf;0]
a²+1 > b²+1 ≥ 1
1/(a²+1) <1/(b²+1) < 1/1 : On change > en < car la fct inverse est décroissante sur son intervalle de défintion.
-1/(a²+1) > 1/(b²+1) > -1 : On change > en < car on a multiplié par -1 qui est négatif.
1-1/(a²+1) > 1-1/(b²+1) > 0 car ajouter "1" ne change pas le sens de l'inégalité.
f(a) > f(b) > 0
Sur ]-inf;0] , on est parti de a <b pour arriver à f(a) > f(b) . Donc sur cet intervalle f(x) est décroissante.
Soient 0 ≤ a < b :
0 ≤ a² < b² car la fct carrée est croissante sur [0;+inf[
1 ≤ a²+1 < b²+1
1 ≥ 1/(a²+1) > 1/(b²+1) : On change < en > car la fct inverse est décroissante sur son intervalle de définition.
-1 ≤ -1/(a²+1) < 1/(b²+1) : On change > en < car on a multiplié par -1 qui est négatif.
0≤ 1-1/(a²+1) < 1-1/(b²+1) car ajouter "1" ne change pas le sens de l'inégalité.
0 ≤ f(a) < f(b)
Sur ]-inf;0] , on est parti de a <b pour arriver à f(a) < f(b) . Donc sur cet intervalle f(x) est croissante.
Tu peux faire ton tableau de variation avec f(x) qui passe par un minimum égal à 0 pour x=0.
0 ≤ f(x) < 1 : Vrai ou faux ?
Traduire en langage courant ce qui est donné:
Quel que soit m ∈ ]0;1[ il existe s ∈ IR+ tel que f(s)=f(-s)=m
(a)O est le minimum de f(x) : VRAI, Je l'ai montré plus haut.
(b) 1 est le maximum de f(x) : FAUX . Démonstration :
f(x)=1 - 1/(x²+1)
f(x)-1=-1/(x²+1)
1/(x²+1) est strictement > 0 car quotient de 2 nbs positifs.
Donc : -1/(x²+1) est strictement < 0.
Donc :
f(x) -1 < 0
Donc :
f(x) < 1.
f(x) est strictement < 1 qui ne peut pas être un maximum.
Tu as la courbe de la fct en pièce jointe.
