a) Construire : je te laisse le soin...
b)
Montrer que AB² = 45 et que BC² = 180
Données :
AC =
15 cm
AO =
3cm
OF = 3
cm
OB = 6
cm
Théorème
de Pythagore : le carré de la longueur de l'hypoténuse est égale à la somme des
carrés des longueurs des deux autres côtés.
Calcul pour AB²
AB² = OB² + OA²
AB² =
6² + 3²
AB² =
36 + 9
AB² =
45
AB²
= √45
AB =
6,7082 cm
Réponse :
Avec le théorème de Pythagore j'ai démontré que AB² = 45 (somme des dex autres
côtés au carré)
Calcul de BC²
BC² = OC² + OB²
BC² =
12² + 6²
BC² =
144 + 36
BC² =
180
BC²
= √180
BC =
13,4164 cm
c) Montrer que les droites (AB) et (BC) sont perpendiculaires
On
peut démontrer que l'angle ABC est un angle droit avec la réciproque
du théorème de Pythagore
Données :
AB =
6,7082 cm
BC =
13,4164 cm
AC =
15 cm
Calcul :
AC² =
BC² + AB²
15²
= 13,4164² + 6,7082²
225
= 179,999 + 44,999
225 ≈
224,999
réponse : L'égalité
étant démontrée on peut affirmer que ABC est un angle droit et on peut en
déduire que (AB) est perpendiculaire à (BC)
d)
Tracer le cercle de diamètre [FC]
Données :
Diamètre FC = AC - AF = 15 - 6 = 9 cm
Rayon
= diamètre /2 = 9/2 = 4,5 cm
H ∈ (BC)
e)
Montrer que FHC est rectangle
Lorsqu'un
triangle est inscrit dans un cercle dont le diamètre est l'un de ses côtés
alors ce triangle est rectangle.
[FC]
étant un des côtés du triangle FHC d'une part et étant le diamètre du cercle
dans lequel s'inscrit ce même triangle on peut en déduire que la nature du
triangle FHC est rectangle.
f)
Montrer que les droites (AB) et (FH) sont //
Données :
Avec
la réciproque du théorème de Thalès.
(BH)
et (AF) sont deux droites sécantes en C
Soient
B et H sont deux points de (BH) distincts se C
Soient
A et F deux points de (AF) distinct de C
Si
[tex] \frac{CF}{AC} = \frac{CH}{CB} [/tex] et si les points C, F et A ainsi que les points C, H et B sont alignés et ce dans le même ordre, alors les droites (AB) et (FH) sont parallèles.
Calcul :
[tex]\frac{CF}{AC} = \frac{9}{15} \\ \frac{CH}{CB} = \frac{CH}{13,42} [/tex]
CH = [tex] \frac{9 * 13,42}{15} = 8,052 cm[/tex]
Je vérifie l'égalité des rapports :
[tex] \frac{CF}{AC} = \frac{9}{15} [/tex] = 0,6
[tex] \frac{CH}{CB} = \frac{8,052}{13,42} [/tex] = 0,6
On peut conclure que (FH) // (AB) puisque les deux rapports sont égaux, ceci a été démontré par le calcul.
Problème n° 59
Solution
a) Je démontre par la réciproque du théorème de Pythagore
BC² = AB² + AC²
7² = 4,2² + 5,6²
49 = 17,64 + 31,38
49 = 49
L'égalité de la réciproque de Pythagore est vérifiée.
b) Aire de ABC
Base = 5,6 cm
Hauteur = 4,2 cm
Formule : (B x h) / 2
[tex] \frac{5,6 * 4,2}{2} = [/tex] 11,76 cm²
c) Le rayon d'un cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour diamètre son hypoténuse [BC]. On peut en déduire que le rayon est égal à la moitié de l'hypoténuse.
Rayon = [BC]/2 = 7 / 2 = 3,5 cm
Je vérifie : (4,2 * 5,6 * 7) / (4*3,5) = 164,64/14 = 11,76 cm²
Calcul du rayon : 14 / 4 = 3,5 cm
d) Justification de cette prévision :
S : aire du triangle ABC.
R : rayon du cercle circonscrit au triangle ABC.
on a alors :
2R = AB * AC * BC / 2S
2R * 2S = AB * AC * BC
4RS = AB * AC * BC
R = AB * AC * BC / 4S => Or ABC est un triangle rectangle en A => S =
AB*AC/2
R = AB * AC * BC / 4(AB * AC)/2
R = AB * AC * BC / 2(AB * AC)
R = (AB * AC) * BC / 2(AB * AC)
R = BC / 2
R = 7 cm / 2
R = 3,5 cm
Une autre manière :
Règle : le cercle circonscrit à un triangle rectangle est l'unique cercle
passant par ses trois sommets.
Le centre de ce cercle est le point de concours des médiatrices des côtés du
triangle.
Son rayon peut s'exprimer avec la loi des sinus.
BC / sin BÂC = AB / sin BCA = AC / sin ABC = AB * AC * BC / 2S = 2R
On en tire l'égalité qui nous importe :
AB * AC * BC/ 2S = 2R
BC = 7 cm
