Réponse :
Explications étape par étape
x√x est positif sur [ 0; 3 ]
3/2x -1/2 est négatif sur [ 0; 1/3 ] et positif sur [ 1/3 ; 3 ]
donc
sur [ 0 ; 1/3 ] x√x ≥ 3/2x -1/2
sur [ 1/3 ; 3] on peut alors comparer leurs carrés
(x√x )² = x²*x
(3/2x -1/2 )² = 9/4 x² - 3/2x + 1/4
la différence des deux carrés est une fonction
f(x)= x²*x - ( 9/4 x² - 3/2x + 1/4 )
f(1/3)= 1/9 *1/3 - ( 9/4 * 1/9 - 3/2 *1/3 + 1/4)= 1/27
f(3)= 3²*3 -( 9/4*9 - 3/2*3 + 1/4)= 11
la dérivée de f(x) est
f '(x) = 3x² -( 9/2x - 3/2) = 3x² - 9/2 x + 3/2
f'(x) = 3/2( 2x² - 3x + 1) = 3/2( x-1) (2x - 1)
cette dérivée a le signe
positif sur [ 1/3; 1/2 ] et sur [ 1;3 ]
négatif sur [ 1/2 ; 1 ]
f(1/3 ) = 1/27
f(1)= 1²*1 - ( 9/4 * 1² - 3/2 + 1/4 ) = 0
le minimum de f(x) est donc 0
f(x) est toujours positive
conclusion la différence des carrés est positive
x√x ≥ 3/2x -1/2
