Réponse : explications étape par étape
g(x)=e^x -x-2 sur [0;4]
g'(x)=e^x -1 g'(x)=0 si e^x=1 donc si x=0; si x>0 g'(x)>0
tableau
x 0 alpha 4
g'(x) 0.................+.....................
g(x) g(0)..........crois..................g(4)
g(0)=-1 g(4)=e^4 -6 =48 (environ)
D'après le th des TVI il existe une et une seule valeur "alpha" telle que g(alpha)=0 alpha=1,15 g(1,15)=0,008...
donc signes de g(x) :g(x)<0 sur [0;alpha[ et g(x)>0 sur ]alpha;4]
Partie B
f(x)=x+(x+3)/e^x sur [0: 4]
f'(x)=1+[e^x-(e^x) (x+3)]/(e^x)²=[(e^x)²+(e^x)(1-x-3)]/(e^x)²
f'(x)=(e^x)(e^x -x-2)/(e^x)²=(e^x -x-2)/e^x=g(x)/e^x
Comme e^x est tjrs>0 f'(x) a le même signe que g(x)
tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)
x 0 alpha 4
f'(x) .........-..................0................+...............
f(x) f(0).....décr.........f(alpha).....croi............f(4)
calculs f(0)=3 ; f(1,15)=2,46 ; f(4)=4,12