Il existe, à mon avis, une erreur dans le texte. L'équation (E) comprend des cosinus alors que dans la question 2a, il s'agit de sinus.
Explications étape par étape
Question 1
Pour résoudre cette question, nous effectuons un changement de variable.
Nous pouvons noter [tex]X = x^2[/tex].
Dans l'équation à résoudre, nous allons changer [tex]x[/tex] pour [tex]X[/tex]
Donc [tex]4x^4-5x^2+1 = 4X^2-5X+1=0[/tex]
L'équation bicarrée [tex](E_1)[/tex] devient donc une simple équation du second degrés que l'on peut résoudre en calculant le discriminant Δ.
Δ=b²-4ac = 25-16 = 9
Donc [tex]X_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta} }{2a} =\frac{5-3}{8}=\frac{1}{4}[/tex]
[tex]X_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta} }{2a} =\frac{5+3}{8}=1[/tex]
Pour résoudre [tex](E_1)[/tex], X a donc deux valeurs possibles : [tex]\{\frac{1}{4};1\}[/tex]
Or [tex]X = x^2[/tex]
Donc,
- lorsque [tex]X=\frac{1}{4}[/tex], la variable [tex]x[/tex] peut prendre deux valeurs possibles : [tex]\{\frac{-1}{2};\{\frac{1}{2}\}[/tex] ;
- lorsque [tex]X=1[/tex], la variable [tex]x[/tex] peut prendre deux valeurs possibles : [tex]\{-1};1\}[/tex] .
Les solutions de [tex](E_1)[/tex] sont donc [tex]\{-1 ; \frac{-1}{2}; \frac{1}{2};1\}[/tex]
Question 2a
L'équation [tex](E)[/tex] est [tex]4(cos\ t)^4-5(cos\ t)^2+1=0[/tex]
Si nous notons [tex]x = cos\ t[/tex], alors nous retrouvons l'équation [tex](E_1)[/tex] : [tex]4x^4-5x^2+1 =0[/tex]
Nous avons vu que les solutions pour [tex]x[/tex] sont [tex]\{-1 ; \frac{-1}{2}; \frac{1}{2};1\}[/tex]
Donc [tex]cos\ t \in \{-1 ; \frac{-1}{2}; \frac{1}{2};1\}[/tex]
(Ça ne peut pas être [tex]sin\ t[/tex] ou alors ce sont les cosinus qu'il faut remplacer par des sinus dans l'équation (E).)
Question 2b
Pour visualiser les réponses, on peut tracer un cercle trigonométrique et connaître les valeurs des cosinus des angles (ou bien utiliser la fonction arc cos = cos inverse de la calculatrice).
Dans ]-π ; π] :
[tex]cos\ t=-1\iff t=\pi[/tex]
[tex]cos\ t=1\iff t=0[/tex]
[tex]cos\ t=\frac{-1}{2} \iff t\in\{\frac{-2\pi}{3};\frac{2\pi}{3}\}[/tex]
[tex]cos\ t=\frac{1}{2} \iff t\in\{\frac{-\pi}{3};\frac{\pi}{3}\}[/tex]
Les solutions sont donc [tex]\{\frac{-2\pi}{3} ;0;\frac{2\pi}{3} ;\pi\}[/tex]
Question 2c
Dans [0;2π[
[tex]cos\ t=-1\iff t=\pi[/tex]
[tex]cos\ t=1\iff t=0[/tex]
[tex]cos\ t=\frac{-1}{2} \iff t\in\{\frac{2\pi}{3};\frac{4\pi}{3}\}[/tex]
[tex]cos\ t=\frac{1}{2} \iff t\in\{\frac{\pi}{3};\frac{5\pi}{3}\}[/tex]
Les solutions sont donc
[tex]\{0;\frac{\pi}{3} ;\frac{2\pi}{3};\pi;\frac{4\pi}{3};\frac{5\pi}{3}\}[/tex]
