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Sagot :
Réponse : Bonsoir,
Initialisation: Pour n=0, [tex]u_{0}=0 \in [0;4][/tex]. La propriété est vraie pour n=0.
Hérédité: Supposons la propriété vraie à l'ordre n, c'est à dire que [tex]u_{n} \in [0;4][/tex], et démontrons là à l'ordre n+1, c'est à dire que [tex]u_{n+1} \in [0;4][/tex].
On a donc:
[tex]0 \leq u_{n} \leq 4\\0 \leq 2u_{n} \leq 8\\8 \leq 2u_{n}+8 \leq 16\\\sqrt{8} \leq \sqrt{2u_{n}+8} \leq \sqrt{16} \\2\sqrt{2} \leq \sqrt{2u_{n}+8} \leq 4[/tex].
[tex]2\sqrt{2} >0[/tex], donc [tex]u_{n+1} \in [0;4][/tex].
La propriété est vraie à l'ordre n+1, donc pour tout [tex]n \in \mathbb{N}[/tex], [tex]u_{n} \in [0;4][/tex].
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