Réponse :
Explications étape par étape
A ( 1 ; 3 ; 5) B(0 ; 1 ; 2)
1)
La droite passe par un des deux points. Je choisis B (plus simple avec le 0)
La droite a pour vecteur directeur [tex]\vec{AB}[/tex] ou [tex]\vec{BA}[/tex]...
vec(BA) : (1-0 ; 3-1 ; 5-2) = (1 ; 2 ; 3)
[tex]M(x;y;z)\in d_1 \Leftrightarrow \vec{OM}=\vec{OB}+t\times\vec{BA}\quad t\in{\Bbb R}\\\\\left\{\begin{array}{l}x=t\\y=1+2t\\z=2+3t\end{array}\right.\quad t\in{\Bbb R}\\[/tex]
[tex]x_C=-1 \Rightarrow t=-1\\t=-1\Rightarrow y=1-2=-1\\t=-1\Rightarrow z=2-3=-1\\[/tex]
Les 3 coordonnées de C correspondent bien à une unique valeur de t (t=-1), donc le point C appartient à la droite [tex]d_1[/tex]
2)
[tex]d_1:\left\{\begin{array}{l}x=s\\y=1+2s\\z=2+3s\end{array}\right.\quad s\in{\Bbb R}\\d_2:\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\y=4-2t\\z=5+3t\end{array}\right.\quad t\in{\Bbb R}\\[/tex]
On résout en s et t deux (les 2 premières) équations :
[tex]\left\{\begin{array}{l}s=1+t\\1+2s=4-2t\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}s=1+t\\1+2(1+t)=4-2t\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}s=1+t\\3+2t=4-2t\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}t=\frac{1}{4} \\\\s=\frac{5}{4} \end{array}\right.\\[/tex]
Et on regarde si ces valeurs correspondent à une même valeur de z qui serait le point d'intersection des droites
[tex]z_1=2+\frac{15}{4}=\frac{23}{4} \\\\z_2=5+\frac{3}{4}=\frac{23}{4}=z_1[/tex]
Les 2 droites sont concourantes donc coplanaires
Les droites ont pour vecteurs directeurs :
[tex]d_1:\vec{u_1}:(1;2;3)\\d2:\vec{u_2}:(1;-2;3)\\\vec{u_1}.\vec{u_2}=1-4+9=6\ne0\\[/tex]
Le produit scalaire des vecteurs directeurs n'est pas nul. Les droites ne sont pas perpendiculaires.
3a) Par 3 points non alignés passe un plan et un seul
[tex]\vec{ED} : (1;0;-1)\\\vec{FD} : (1;0;-3)[/tex]
Les 2 vecteurs ne sont pas colinéaires. Il y a donc un unique plan (DEF)
qui passe par D et qui est défini par des combinaisons linéaires des 2 vecteurs
[tex](DEF) : \left\{\begin{array}{l}x=2+s+t\\y=4+2s-2t\\z=2+3s+3t\end{array}\right.\quad s\in{\Bbb R}\quad t\in{\Bbb R}[/tex]
3b)
[tex]\vec{ED} : (1;0;-1)\\\vec{FD} : (1;0;-3)\\\vec{n} : (0;2;0)\\\\\vec{ED}.\vec{n}=1\times0+0\times2-1\times0=0\\\vec{FD}.\vec{n}=1\times0+0\times2-3\times0=0\\[/tex]
Le vecteur [tex]\vec{n}[/tex] est orthogonal à 2 vecteurs non colinéaires du plan DEF. C'est donc un vecteur normal au plan.
3c)
Avec [tex]\vec{n} : (0;2;0)[/tex] normal au pln DEF, une équation du plan est de la forme :
[tex]0x+2y+0z+d=0\\\Rightarrow2y+d=0\\[/tex]
On passe par des points pour lesquels y=4 ou y-4=0 qui est une équation du plan (avec d = -4)
