Sagot :
Réponse : Bonjour,
Exercice 2
1) D'après la figure, [tex]f(0)=0[/tex], la tangente en 0 est horizontale, donc son coefficient directeur est 0, d'où [tex]f'(0)=0[/tex].
Puis [tex]I[/tex] est le milieu de [tex][OB][/tex], donc ces coordonnées vérifient:
[tex]I\left(\frac{x_{O}+x_{B}}{2} ;\frac{y_{O}+y_{B}}{2} \right)\\I\left(\frac{0+5}{2} ;\frac{0+2}{2} \right)\\I\left(\frac{5}{2} ;1)[/tex].
[tex]I \in f[/tex], donc [tex]f\left(\frac{5}{2} )=1[/tex].
On obtient donc trois équations:
[tex]f(0)=0 \Rightarrow a \times 0^{2}+b \times 0+c=0 \Leftrightarrow c=0\\f'(x)=2ax+b \Rightarrow f'(0)=0 \Leftrightarrow 2a \times 0+b=0 \Rightarrow b=0\\[/tex].
Donc à ce stade, [tex]f(x)=ax^{2}[/tex].
Calculons [tex]a[/tex]:
[tex]f\left(\frac{5}{2}\right )=1 \Leftrightarrow a \times \left(\frac{5}{2} \right)^{2}=1 \Leftrightarrow \frac{5}{4} a=1 \Leftrightarrow a=1 \times \frac{4}{5} =\frac{4}{5}[/tex].
Donc [tex]f(x)=\frac{4}{5} x^{2}[/tex].
2) Le raccordement se fait sans cassure en [tex]I[/tex], donc [tex]f\left(\frac{5}{2} \right)=g\left(\frac{5}{2} \right)[/tex].
3) D'après la question précédente, [tex]g\left(\frac{5}{2}\right)=1[/tex].
De plus, d'après la figure, [tex]g(5)=2[/tex], puis la tangente au point d'abscisse 5 de [tex]g[/tex] est horizontale, donc son coefficient directeur est 0, donc [tex]g'(5)=0[/tex].
On a donc:
[tex]g'(5)=0 \Leftrightarrow 2d \times 5+e=0 \Leftrightarrow e=-10d\\g(5)=2 \Leftrightarrow d \times 5^{2}+e \times 5+f=2 \Leftrightarrow 25d+5e+f=2\\g\left(\frac{5}{2} \right)=1 \Leftrightarrow d \times \left(\frac{5}{2} \right)^{2}+e \times \frac{5}{2} +f=1 \Leftrightarrow \frac{25}{4} d+\frac{5}{2} e+f=1[/tex].
On remplace [tex]e=-10d[/tex], dans les deux dernières équations:
[tex]25d+5e+f=2 \Leftrightarrow 25d+5(-10d)+f=2 \Leftrightarrow 25d-50d+f=2 \Leftrightarrow -25d+f=2\\\frac{25}{4} d+\frac{5}{2} e+f=1 \Leftrightarrow \frac{25}{4} d+\frac{5}{2} (-10d)+f=1 \Leftrightarrow \frac{25}{4} d-25d+f=1[/tex].
Enfin, résolvons ces deux dernières équations d'inconnues [tex]d[/tex] et [tex]f[/tex]:
[tex]-25d+f=2 \quad (1)\\\frac{25}{4} d-25d+f=1 \Leftrightarrow \frac{25-100}{4} d+f=1 \Leftrightarrow -\frac{75}{4} d+f=1 \quad (2)[/tex].
On soustrait (1)-(2):
[tex]-25d+f-(-\frac{75}{4} d+f)=2-1\\-25d+f+\frac{75}{4} d-f=1\\\frac{-25 \times 4d+75d}{4} =\frac{-100d+75d}{4} =\frac{-25d}{4} =1\\-25d=4 \Rightarrow d=-\frac{4}{25}[/tex].
On remplace [tex]d[/tex] par sa valeur, dans l'équation (2):
[tex]-\frac{75}{4} \times -\frac{4}{25}+f=1\\ 3+f=1 \Rightarrow f=-2[/tex].
Enfin, [tex]e=-10d \Leftrightarrow e=-10 \times -\frac{4}{25} =2 \times \frac{4}{5} =\frac{8}{5}[/tex].
Donc [tex]g(x)=-\frac{4}{25} x^{2}+\frac{8}{5} x-2[/tex].
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