Réponse :
Explications étape par étape
Ex34)
[tex]3\equiv3\quad[5]\\3^2\equiv4\quad[5]\\3^3\equiv2\quad[5]\\3^4\equiv1\quad[5]\\3^5\equiv2\quad[5]\quad\dots\\[/tex]
Période de 5
[tex]2020\equiv0\quad[5]\Rightarrow3^{2020}\equiv3^5\equiv2\quad[5][/tex]
------------------------------------------------
[tex]5\equiv5\quad[7]\\5^2\equiv4\quad[7]\\5^3\equiv6\quad[7]\\5^4\equiv2\quad[7]\\5^5\equiv3\quad[7]\\5^6\equiv1\quad[7]\\5^7\equiv5\quad[7]\dots\\[/tex]
Période de 6
[tex]6102\equiv0\quad[6]\\\Rightarrow5^{6102}\equiv5^6\equiv1\quad[5][/tex]
[tex]4\equiv4\quad[7]\\4^2\equiv2\quad[7]\\4^3\equiv1\quad[7]\\4^4\equiv4\quad[7]\dots[/tex]
Période de 3
[tex]7102\equiv1\quad[3]\\\Rightarrow4^{7102}\equiv4^1\equiv4\quad[7][/tex]
[tex]\Rightarrow5^{6102}+4^{7102}\equiv1+4\equiv5\quad[7]\\[/tex]
------------------------------------------
[tex]3\equiv3\quad[8]\\3^2\equiv1\quad[8]\\3^3\equiv3\quad[8]\dots\\\\5\equiv5\quad[8]\\5^2\equiv1\quad[8]\\5^3\equiv5\quad[8]\dots\\\\7\equiv7\quad[8]\\7^2\equiv1\quad[8]\\7^3\equiv7\quad[8]\dots[/tex]
Tous de période 2
[tex]7214\equiv0\quad[2]\\\Rightarrow3^{7214}\equiv3^2\equiv1\quad[8]\\1523\equiv1\quad[2]\\\Rightarrow5^{1523}\equiv5^1\equiv5\quad[8]\\2113\equiv1\quad[2]\\\Rightarrow7^{2113}\equiv7^1\equiv7\quad[8]\\\\3^{7214}\times5^{1523}\times7^{2113}\equiv1\times5\times7\equiv3\quad[8][/tex]
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Ex33)
1)
[tex]6\equiv6\quad[11]\\6^2\equiv3\quad[11]\\6^3\equiv7\quad[11]\\7^4\equiv9\quad[11]\\6^5\equiv10\equiv-1\quad[11]\\[/tex]
2)
[tex]6^{2107}=6^{2105}\times6^2\\2105\equiv0\quad[5]\Rightarrow6^{2105}\equiv-1^{2105}\equiv-1\quad[11]\\\Rightarrow6^{2107}\equiv-1\times36\equiv-3\quad[11]\\\Rightarrow6^{2107}-8\equiv-3-8\equiv0\quad[11]\\[/tex]
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Ex 32)
[tex]5\equiv2\quad[3]\\5^2\equiv1\quad[3]\dots\\\\n=2k\Rightarrow5^n\equiv1\quad[3]\\n=2k+1\Rightarrow5^n\equiv2\quad[3][/tex]
Donc, quelque soit n,
[tex]PGCD(5^n;3)=PGCD(2;3)\text{ ou }PGCD(1;3)\\\Rightarrow PGCD(5^n;3)=1[/tex]
