Bonjour;
1)
b)
Si z est un réel alors on a z = zbarre , donc z/zbarre = 1 ,
donc : z ' = z/zbarre + 1 = 1 + 1 = 2 .
c)
Si z' = 0 alors z/zbarre + 1 = 0 , donc z/zbarre = - 1 , donc : z = - zbarre .
Posons : z = x + iy donc zbarre = x - iy ;
comme on a : z = - zbarre alors on a : x + iy = -(x - iy) = - x + iy ;
donc : x = - x et y ∈ IR ; donc : x = 0 et y ∈ IR ;
donc z est un imaginaire pur , donc : z ∈ i IR .
2)
z ' - 1 = z/zbarre + 1 - 1 = z/zbarre ;
donc |z ' - 1 | = |z/zbarre| = |z|/|zbarre| = 1 car on toujours |z| = |zbarre| .
Soit U le point d'affixe 1 ; donc les points M' sont les points du cercle
de centre U et de rayon 1 .
3)
On a : z' = z/zbarre + 1 ;
donc : z = z/zbarre + 1 car z' = z ;
donc : z - 1 = z/zbarre ;
donc : (z - 1)zbarre = z ;
donc : z zbarre - zbarre = z ;
donc : x² + y² - (x - iy) = x + iy avec z = x + iy et zbarre = x - iy
donc : x² + y² - x + iy = x + iy ;
donc : x² - 2x + y² = 0 ;
donc : x² - 2x + 1 + y² = 1 ;
donc : (x - 1)² + y² = 1 ;
donc l'ensemble (E) est le cercle de centre le point
d'affixe 1 et de rayon 1 .
