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Réponse :
Explications étape par étape
Je suppose que tu voulais écrire :
[tex]x^4\ge2x^3-2[/tex]
et j'espère que tu as vu les dérivées
[tex]x^4\ge2x^3-2\Leftrightarrow x^4-2x^3+2\ge0[/tex]
On va étudier les variations de la fonction correspondante.
[tex]f(x)=x^4-2x^3+2\\f'(x)=4x^3-6x^2=2x^2(2x-3)\\[/tex]
Ce qui nous donne le tableau de variation :
[tex]\left[\begin{array}{c|ccccccc}x&-\infty&&0&&\frac{3}{2}&&+\infty\\f'(x)&&-&0&-&0&+\\f(x)&+\infty&\searrow&&\searrow&f(\frac{3}{2})&\nearrow&+\infty\end{array}\right][/tex]
Le minimum de la fonction est donc atteint pour x=3/2
[tex]f(\frac{3}{2})=(\frac{3}{2})^4-2(\frac{3}{2})^3+2\\=\frac{81}{16} -2\frac{27}{8} +2\\=\frac{81}{16} -\frac{108}{16}+\frac{32}{16} = \frac{5}{16}[/tex]
La fonction est donc toujours positive et donc la proposition est vérifiée.