Réponse: Bonjour,
Soit A un point de [tex]f[/tex] d'abscisse [tex]a[/tex]. Alors l'équation de la tangente à [tex]f[/tex] au point d'abscisse [tex]a[/tex] est [tex]y=f'(a)(x-a)+f(a)=e^{a}x+e^{a}(-a+1)[/tex].
Soit B un point de [tex]g[/tex] d'abscisse [tex]b[/tex]. Alors une équation de la tangente à [tex]g[/tex] au point d'abscisse [tex]b[/tex] est [tex]y=g'(b)(x-b)+g(b)=e^{-b-1}x+e^{-b-1}(-b-1)[/tex].
Donc pour qu'il y ait tangente commune, il faut que:
[tex]\left \{ {{e^{a}=e^{-b-1}} \atop {e^{a}(-a+1)=e^{-b-1}(-b-1)}} \right.[/tex].
D'après la première équation, [tex]e^{a}=e^{-b-1}[/tex], donc en remplaçant, dans la deuxième équation, on a:
[tex]e^{a}(-a+1)=e^{a}(-b-1)\\-a+1=-b-1\\b-a=-2 \\ a=b+2[/tex].
Donc en remplaçant [tex]a[/tex] par [tex]b+2[/tex], dans la première équation, on a:
[tex]e^{a}=e^{-b-1}\\e^{b+2}=e^{-b-1}\\b+2=-b-1\\2b=-3\\b=-\frac{3}{2}[/tex]
D'où [tex]a=b+2=-\frac{3}{2}+2=\frac{1}{2}[/tex].
Donc la tangente commune a pour équation:
[tex]y=f'(\frac{1}{2})(x-\frac{1}{2})+f(\frac{1}{2})\\y=e^{\frac{1}{2}}(x-\frac{1}{2})+e^{\frac{1}{2}}\\y=e^{\frac{1}{2}}x-\frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}}+e^{\frac{1}{2}}\\y=e^{\frac{1}{2}}x+\frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}}[/tex]
