Réponse :
f(x)=-x²+10x+75
Explications étape par étape
1)f(x)=0 soit -x²+10x+75=0 delta=100+300=400
x1=(-10-20)/-2=15 et x2=(-10+20)/-2=-5
f(x) est une parabole donc la verticale passant par son sommet est un axe de symétrie
coordonnées du sommet :
xS=(x1+x2)/2=5
yS=f(5)=-5²+10*5+75=100
3)oui dans un repère orthogonal (1cm pour 2m en abscisse et 1cm pour 20m en ordonnée)
4) équation de l'axe de symétrie x=5
5) Coordonnées de A:
yA=64 (valeur donnée) et xA est une des solutions de f(x)=64
soit -x²+10x+75=64
-x²+10x+11=0 Delta=144
solution x3=(-10-12)-2=11 et x4=(-10+12)/-2=-1
les coordonnées de A (-1;64)
6) l'équation de la tangente est donnée par la formule
y=f'(xA)(x-xA)+f(xA) sachant que f'(x)=-2x+10 donc f'(-1)=12
y=12(x+1)+64=12x+76
7) Sachant que l'oeil de l'observateur est a 2m du sol il faut résoudre y=2
soit 12x+76=2
12x=-74 donc x=-37/6 environ -6,1 m ceci est la distance par au point O du repère; la distance par rapport au pied de la colline est de -5-(-6,1)=1,1 m
8) le sommet de l'antenne est l'intersection de la tangente y=12x+76 avec la droite d'équation x=5
il suffit de remplacer x par 5
h=12*5+76=136 m