Réponse :
le couple solution cherché est (Z1 = 1-2i ; Z2 = 1+2i) .
Explications étape par étape :
■ avec Z1 = a + ib et Z2 = c + id :
Z1 * Z2 = ac - bd + i (bc + ad) = 5
--> ac - bd = 5 ET bc + ad = 0 .
■ Z1 + Z2 = (a + c) + i (b + d) = 2
--> a + c = 2 ET b + d = 0 .
■ ces 4 équations avec 4 inconnues donnent :
c = 2 - a ; d = -b ; 2a-a² + b² = 5 ; 2b-ab - ab = 0 .
2b - 2 ab = 0 donne 2b(1-a) = 0
donc b = 0 OU a = 1 .
■ cas où b = 0 :
c = 2-a ; d = b = 0 ; a² - 2a + 5 = 0 impossible dans IR .
■ cas où a = 1 :
c = 1 ; d = -b ; b² = 4 donc b = -2 OU b = +2 .
■ conclusion :
le couple solution cherché est (Z1 = 1-2i ; Z2 = 1+2i) .
■ remarque :
(Z1 = 1+2i ; Z2 = 1-2i) serait le "couple symétrique" .
■ vérif :
Z1 * Z2 = (1-2i) * (1+2i) = 1² - (2i)² = 1 - (-4) = 5 vérifié !
■ ATTENTION :
en voyant le texte "symétrique" de l' exercice,
on aurait pu partir directement de
Z1 = a+ib ET Z2 = a-ib ☺ .
