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Bonjour/Bonsoir tout le monde. J'aimerais avoir sur un exercice de mon DM de Math. J'essais de retourner de tous les sens l'exercice je ne le comprend pas contrairement au autres. Donc j'aimerais avoir un peu d'aide. Merci d'avance pour vos réponses.

Exercice :
Nous sommes pendant un match de Rugby, rêvons un peu ! Essai pour la France :
Les points A et B délimitent le but d’un camp. Le joueur M est placé le long de la ligne de touche [OC] située du côté de A, veut transformer l’essai. C’est-à-dire que le ballon doit passer entre les deux poteaux A et B.
La distance OA est de 37, 3 m, la distance OC est de 100 m. La distance AB est de 42,9 m.
On note par x la distance OM exprimée en mètres, et α;β et θ,les mesures respectives des angles géométriques (OMA)̂ ; (OMB)̂ et (AMB) exprimées en radians
Pour se donner le plus de chances de réussir, on se propose de chercher pour quelle position de M, l’angle θ, sous le quel le joueur voit le but [AB] est maximal
1°) Déterminer à quel intervalle appartient x.
2°) Exprimer tan(α) et tan(β)en fonction de x.
On admet que pour tout nombre réel α et β on a
tan(α-β)=(tan(β)-tan(α))/(1+tan(α)× tan(β))
3°) Démontrer que tan(θ)=5,6x/(x^2+1600,17) .
4°) Etudier les variations de la fonction f définie sur [ 0 ; 100] par f(x)=5,6x/(x^2+1600,17) .
5°) Démontrer que f admet un maximum, on précisera la valeur de x , en déduire la valeur de θ correspondante ( on admet alors que θ est maximal ).

Sagot :

Réponse :

Je vais remettre mon explication avec OB=42,9m. et les angles OMA=a OMB=b et AOB=b-a=c

Explications étape par étape

tan a=OA/OM=37,3/x  et tan b=OB/OM=42,9/x

et on te donne la formule:

tan(b-a)=(tan b -tan a)/(1+tan a* tan b)

remplçons tan(b-a)=(42,9/x-37,3/x)/(1+37,3*42,9/x²)

=(5,6/x)/[(x²+1600,17)/x²]= (5,6x)/(x²+1600,17)

Etude de f(x)=5,6x/(x²+1600,17) sur [0; 100]

f'(x)=[5,6(x²+1600,17)-2x*5,6x]/(x²+1600,17)²

le signe de cette dérivée dépend du signe du numérateur donc de -5,6x²+5,6*1600,17 soit -x²+1600,17

les solutions de -x²+1600,17=0 sont +40 et -40 on garde la positive

x=40

on dit que l'angle c  varie comme la fonction f(x) sur [0;100)

tableau

x    0                     40                   100

f'(x).........+...........0..........-............

f(x).......croi..........f(40)......décroi

L'angle AMB est max pour OM=40m

pour déterminer cette valeur tu calcules   OMA et OMB avec ta calculette fonction tan(-1), puis AMB=OMB-OMA .

la valeur est entre 5 et 6°

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