Réponse :
f(x) = √[(2 x² - 5 x + 3)/(4 x² - 25)]
1) montrer que 2 x² - 5 x + 3 peut aussi s'écrire sous la forme factorisée
(2 x - 3)(x - 1)
il suffit de chercher les racines de l'équation et ensuite on peut l'écrire sous la forme factorisée suivante : a(x - x1)(x-x2)
2 x² - 5 x + 3 = 0
Δ = 25 - 24 = 1
x1 = 5+1)/4 = 6/4 = 3/2
x2 = 5-1)/4 = 1
Donc 2(x - 3/2)(x-1) ⇔ 2(2 x - 3)/2(x - 1) ⇔ (2 x - 3)(x - 1)
2) factoriser 4 x² - 25 ⇔ (2 x)² - 5² Identité remarquable a²-b²=(a+b)(a-b)
⇔ (2 x - 5)(2 x + 5)
3) utiliser les résultats des questions précédentes pour résoudre l'inéquation (2 x² - 5 x + 3)/(4 x² - 5) ≥ 0
⇔ (2 x-3)(x-1)/(2 x - 5)(2 x + 5) ≥ 0
il faut utiliser le tableau de signe
x - ∞ -5/2 1 3/2 5/2 + ∞
2 x - 3 - - - 0 + +
x - 1 - - 0 + + +
2 x - 5 - - - - || +
2 x + 5 - || + + + +
Q + || - 0 + 0 - || +
L'ensemble des solutions de l'inéquation est :
S = ]- ∞ ; - 5/2[ U [1 ; 3/2] U ]5/2 ; + ∞[
4) en déduire l'ensemble de définition de la fonction f
Df = ]- ∞ ; - 5/2[U[1 ; 3/2]U]5/2 ; + ∞[
Explications étape par étape
