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Sagot :
Réponse :
Bonjour
Exercice 1
1) [tex]\frac{x}{4} =\frac{4}{x} \iff x^{2} =4^{2} \ et \ x\neq 0[/tex]
Donc [tex]\frac{x}{4} =\frac{4}{x} \iff x^{2} = 16 \iff x=4 \ ou \ x=-4[/tex]
2) [tex]\frac{1}{x-1} +\frac{1}{x+1} = 0[/tex]
Les dénominateurs ne peuvent pas être nuls. Nous savons donc déjà que
[tex]x\neq -1\ et\ x\neq 1[/tex]
Maintenant que cela est posé, résolvons cette équation.
En mettant chacun des termes au même dénominateur, nous obtenons
[tex]\frac{1}{x-1} +\frac{1}{x+1} = 0\iff \frac{x+1+x-1}{(x-1)(x+1)} = 0\iff \frac{2x}{(x-1)(x+1)}=0[/tex] et [tex]x\neq -1\ et\ x\neq 1[/tex]
Donc [tex]2x=0\iff x=0[/tex]
3)[tex]\frac{3x+2}{x+1} \leq 0[/tex]
Nous pouvons déjà écrire que [tex]x\neq -1[/tex] puisque le dénominateur ne peut pas être nul.
Pour résoudre cette inéquation, nous pouvons construire un tableau de signe, en étudiant en fonction de x, le signe de 3x+2 sur une ligne et celui de x+1 sur une autre ligne. Le rapport [tex]\frac{3x+2}{x+1}[/tex] est négatif lorsque [tex]3x+2 \ et \ x+1[/tex] sont de signes contraires.
Il faut donc d'abord résoudre [tex]3x+2 \leq 0[/tex]
(ou bien [tex]3x+2 \geq 0[/tex] Cela revient au même. L'essentiel est de construire une ligne du tableau de signe.)
[tex]3x+2 \leq 0\iff 3x\leq -2 \iff x\leq \frac{-2}{3}[/tex]
Donc lorsque [tex]x\leq \frac{-2}{3}[/tex] alors [tex]3x+2 \leq 0[/tex] et réciproquement, lorsque [tex]x\geq \frac{-2}{3}[/tex] alors [tex]3x+2 \geq 0[/tex]
Il faut maintenant résoudre [tex]x+1<0[/tex] (ou bien [tex]x+1>0[/tex])
(Rappel = pas de signe ≤ ou bien ≥ car le dénominateur ne peut pas être nul. C'est une inégalité stricte.)
[tex]x+1<0\iff x<-1[/tex] et réciproquement [tex]x+1>0\iff x>-1[/tex]
Nous pouvons maintenant construire le tableau de signes :
x |-∞ -1 [tex]\frac{-2}{3}[/tex] +∞|
___________________________________________
3x+2 | - || - | + |
___________________________________________
x+1 | - || + | + |
____________________________________________
[tex]\frac{3x+2}{x+1}[/tex] | + || - | + |
Donc [tex]x \in ]-1;\frac{-2}{3}][/tex]
Exercice 2
1) La fonction est définie tant que le dénominateur de [tex]\frac{2-x}{x}[/tex] n'est pas nul, donc tant que [tex]x\neq 0[/tex].
L'ensemble de définition est donc |R* (ensemble des nombres réels à l'exception de zéro).
2) [tex]g(\frac{2}{3} )=\frac{2-\frac{2}{3} }{\frac{2}{3}} =\frac{3}{2} (2-\frac{2}{3} )=\frac{1}{2} (6-2)=\frac{4}{2} =2[/tex]
3) [tex]g(\sqrt{5})=\frac{2-\sqrt{5} }{\sqrt{5}}=\frac{(2-\sqrt{5})\sqrt{5}}{5} =\frac{2\sqrt{5} }{5} -1=-1+\frac{2}{5}\sqrt{5}[/tex]
Donc a = -1 et [tex]b=\frac{2}{5}[/tex]
4) [tex]g(x)=3\iff \frac{2-x}{x} =3\iff 2-x=3x \ et \ x\neq 0 \iff 2=4x \iff x=\frac{1}{2}[/tex]
5) Pour résoudre cette inéquation, nous pouvons construire un tableau de signe (comme lors de l'exercice précédent).
x |-∞ - 0 + 2 + +∞|
_____________________________________
2-x | + || + 0 - |
_____________________________________
[tex]\frac{2-x}{x}[/tex] | - || + | - |
Donc [tex]x \in ]-\infty;0[ \cup [2;+\infty[[/tex]
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