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Bonjour, j'ai besoin d'aide pour les exos 1 et 2 s'il vous plait

Bonjour Jai Besoin Daide Pour Les Exos 1 Et 2 Sil Vous Plait class=

Sagot :

Alcide

Réponse :

Bonjour

Exercice 1

1) [tex]\frac{x}{4} =\frac{4}{x} \iff x^{2} =4^{2} \ et \ x\neq 0[/tex]

Donc [tex]\frac{x}{4} =\frac{4}{x} \iff x^{2} = 16 \iff x=4 \ ou \ x=-4[/tex]

2) [tex]\frac{1}{x-1} +\frac{1}{x+1} = 0[/tex]

Les dénominateurs ne peuvent pas être nuls. Nous savons donc déjà que

[tex]x\neq -1\ et\ x\neq 1[/tex]

Maintenant que cela est posé, résolvons cette équation.

En mettant chacun des termes au même dénominateur, nous obtenons

[tex]\frac{1}{x-1} +\frac{1}{x+1} = 0\iff \frac{x+1+x-1}{(x-1)(x+1)} = 0\iff \frac{2x}{(x-1)(x+1)}=0[/tex] et [tex]x\neq -1\ et\ x\neq 1[/tex]

Donc [tex]2x=0\iff x=0[/tex]

3)[tex]\frac{3x+2}{x+1} \leq 0[/tex]

Nous pouvons déjà écrire que [tex]x\neq -1[/tex] puisque le dénominateur ne peut pas être nul.

Pour résoudre cette inéquation, nous pouvons construire un tableau de signe, en étudiant en fonction de x, le signe de 3x+2 sur une ligne et celui de x+1 sur une autre ligne. Le rapport [tex]\frac{3x+2}{x+1}[/tex] est négatif lorsque [tex]3x+2 \ et \ x+1[/tex] sont de signes contraires.

Il faut donc d'abord résoudre [tex]3x+2 \leq 0[/tex]

(ou bien [tex]3x+2 \geq 0[/tex] Cela revient au même. L'essentiel est de construire une ligne  du tableau de signe.)

[tex]3x+2 \leq 0\iff 3x\leq -2 \iff x\leq \frac{-2}{3}[/tex]

Donc lorsque [tex]x\leq \frac{-2}{3}[/tex] alors [tex]3x+2 \leq 0[/tex] et réciproquement, lorsque [tex]x\geq \frac{-2}{3}[/tex] alors [tex]3x+2 \geq 0[/tex]

Il faut maintenant résoudre [tex]x+1<0[/tex] (ou bien [tex]x+1>0[/tex])

(Rappel = pas de signe ≤ ou bien ≥ car le dénominateur ne peut pas être nul. C'est une inégalité stricte.)

[tex]x+1<0\iff x<-1[/tex] et réciproquement [tex]x+1>0\iff x>-1[/tex]

Nous pouvons maintenant construire le tableau de signes :

x         |-∞                -1                            [tex]\frac{-2}{3}[/tex]                              +∞|

___________________________________________

3x+2  |          -          ||          -                 |             +                |

___________________________________________

x+1     |         -        ||             +                |              +                |

____________________________________________

[tex]\frac{3x+2}{x+1}[/tex]   |         +        ||            -                |              +                |  

Donc [tex]x \in ]-1;\frac{-2}{3}][/tex]

Exercice 2

1) La fonction est définie tant que le dénominateur de [tex]\frac{2-x}{x}[/tex] n'est pas nul, donc tant que [tex]x\neq 0[/tex].

L'ensemble de définition est donc |R* (ensemble des nombres réels à l'exception de zéro).

2) [tex]g(\frac{2}{3} )=\frac{2-\frac{2}{3} }{\frac{2}{3}} =\frac{3}{2} (2-\frac{2}{3} )=\frac{1}{2} (6-2)=\frac{4}{2} =2[/tex]

3) [tex]g(\sqrt{5})=\frac{2-\sqrt{5} }{\sqrt{5}}=\frac{(2-\sqrt{5})\sqrt{5}}{5} =\frac{2\sqrt{5} }{5} -1=-1+\frac{2}{5}\sqrt{5}[/tex]

Donc a = -1 et [tex]b=\frac{2}{5}[/tex]

4) [tex]g(x)=3\iff \frac{2-x}{x} =3\iff 2-x=3x \ et \ x\neq 0 \iff 2=4x \iff x=\frac{1}{2}[/tex]

5) Pour résoudre cette inéquation, nous pouvons construire un tableau de signe (comme lors de l'exercice précédent).

x     |-∞         -         0         +         2         +         +∞|

_____________________________________

2-x   |           +         ||         +         0         -           |

_____________________________________

[tex]\frac{2-x}{x}[/tex] |         -            ||         +         |         -            |

Donc [tex]x \in ]-\infty;0[ \cup [2;+\infty[[/tex]