Réponse : Bonjour,
1) [tex]x-\frac{1}{x}=\frac{x^{2}-1}{x}=\frac{(x-1)(x+1)}{x}[/tex].
2) La fonction racine carrée est définie sur [tex][0;+\infty[[/tex], donc pour que f soit définie, il faut que [tex]\frac{(x-1)(x+1)}{x} \geq 0[/tex], on effectue le tableau de signes:
x -∞ -1 0 1 +∞
x-1 - - - Ф +
x+1 - Ф + + +
x - - Ф + +
((x-1)(x+1)/x) - Ф + ║ - Ф +
Donc [tex]\frac{(x-1)(x+1)}{x} \geq 0 \Leftrightarrow x \in [-1;0[ \cup [1;+\infty[[/tex].
Donc le domaine de définition de f est [tex][-1;0[ \cup [1;+\infty[[/tex].
3) On calcule la fonction dérivée de f:
[tex]f'(x)=\frac{(x-\frac{1}{x})'}{2\sqrt{x-\frac{1}{x}}}=\frac{1+\frac{1}{x^{2}}}{2\sqrt{x-\frac{1}{x}}}[/tex].
Pour tout [tex]x \in [-1;0[ \cup [1;+\infty[, \quad 1+\frac{1}{x^{2}} >0[/tex], car un carré est toujours positif, puis [tex]2\sqrt{x-\frac{1}{x}} \geq 0[/tex], pour tout [tex] x \in [-1;0[ \cup [1;+\infty[ [/tex], car [tex]\sqrt{x} \geq 0[/tex], pour tout [tex]x \in \mathbb{R}[/tex], et à fortiori pour [tex]x \in [-1;0[ \cup [1;+\infty[[/tex].
Donc [tex]f'(x) \geq 0[/tex], pour tout [tex]x \in [-1;0[ \cup [1;+\infty[[/tex], donc f est croissante sur son domaine de définition.