Réponse : Bonjour,
1) La tangente à P au point d'abscisse -2 est (avec f(x)=x²):
[tex]y=f'(-2)(x+2)+f(-2)\\f'(-2)=2 \times (-2)=-4\\f(-2)=(-2)^{2}=4\\Donc \; y=-4(x+2)+4=-4x-8+4=-4x-4[/tex].
La tangente à H au point d'abscisse -0,5 est (avec [tex]g(x)=\frac{1}{x}[/tex]):
[tex]y=g'(-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{2})+g(-\frac{1}{2})\\g'(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{(-\frac{1}{2})^{2}}=-\frac{1}{\frac{1}{4}}=-4\\g(-\frac{1}{2})=\frac{1}{-\frac{1}{2}}=-2\\Donc \; y=-4(x+\frac{1}{2})-2=-4x-2-2=-4x-4[/tex].
Donc les tangentes sont bien confondues.
2) Le point B a pour coordonnées [tex](-\frac{1}{2};-2)[/tex].
Il faut donc que f passe par le point B, donc:
[tex]f(-\frac{1}{2})=-2 \Leftrightarrow (-\frac{1}{2})^{2}+b \times -\frac{1}{2}+c=-2 \Leftrightarrow \frac{1}{4}-\frac{1}{2}b+c=-2[/tex].
Et il faut que [tex]f'(-\frac{1}{2})=-4[/tex], donc:
[tex]f'(-\frac{1}{2})=-4 \Leftrightarrow 2 \times -\frac{1}{2}+b=-4[/tex].
Donc si une telle fonction f existe, a et b sont des solutions du système suivant:
[tex]\left \{ {{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}b+c=-2} \atop {-1+b=-4}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}b+c=-2} \atop {b=-3}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{\frac{1}{4}-\frac{1}{2} \times -3+c=-2} \atop {b=-3}} \right. \\\left \{ {{\frac{1}{4}+\frac{3}{2}+c=-2} \atop {b=-3}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{c=-2-\frac{7}{4}=-\frac{15}{4}} \atop {b=-3}} \right.[/tex].
Donc [tex]f(x)=x^{2}-3x-\frac{15}{4}[/tex].