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Sagot :
Je n'utilise pas les vecteurs (qui simplifient les dernières questions).
1) a) On a [tex]x_{A'}=\dfrac{x_B+x_C}2=\dfrac{-5+7}2=\dfrac 22=1[/tex] et [tex]y_{A'}=\dfrac{y_B+y_C}2=\dfrac{-5+(-1)}2=\dfrac{-6}2=-3[/tex], donc [tex]A'(1;-3)\;.[/tex]
On a [tex]x_{B'}=\dfrac{x_A+x_C}2=\dfrac{1+7}2=\dfrac 82=4[/tex] et [tex]y_{B'}=\dfrac{y_A+y_C}2=\dfrac{7+(-1)}2=\dfrac 62=3[/tex], donc [tex]B'(4;3)\;.[/tex]
On a [tex]x_{C'}=\dfrac{x_A+x_B}2=\dfrac{1+(-5)}2=\dfrac {-4}2=-2[/tex] et [tex]y_{C'}=\dfrac{y_A+y_B}2=\dfrac{7+(-5)}2=\dfrac 22=1[/tex], donc [tex]C'(-2;1)\;.[/tex]
b) La droite [tex](AA')[/tex] passe par deux points qui ont la même abscisse [tex]1[/tex], donc elle a pour équation [tex]x=1\;.[/tex]
La droite [tex](BB')[/tex] passe par deux points qui n'ont pas la même abscisse, donc elle admet une équation de la forme [tex]y=mx+p[/tex], avec [tex]m=\dfrac{y_{B'}-y_B}{x_{B'}-x_B}=\dfrac{3-(-5)}{4-(-5)}=\dfrac 89[/tex], et on a : [tex]y_B=m x_B+p=\dfrac 89x_B+p[/tex], soit [tex]-5=\dfrac 89\times(-5)+p=-\dfrac{40}9+p[/tex], soit [tex]p=-5+\dfrac{40}9=-\dfrac{45}9+\dfrac{40}9=-\dfrac 59\;.[/tex] Finalement, on a [tex](BB')\colon y=\dfrac 89x-\dfrac 59\;.[/tex]
c) Si on note [tex]K(x;y)[/tex] le point d'intersection des droites [tex](AA')[/tex] et [tex](BB')[/tex], on doit donc avoir [tex]x=1[/tex] et [tex]y=\dfrac 89x-\dfrac 59=\dfrac 89\times 1-\dfrac 59=\dfrac 39=\dfrac 13\;.[/tex]. On a donc [tex]K\left(1;\dfrac 13\right)\;.[/tex]
d) Déterminons l'équation réduite de la droite [tex](CC')[/tex]. Comme les deux points [tex]C[/tex] et [tex]C'[/tex] n'ont pas la même abscisse, cette droite admet une équation de la forme [tex]y=mx+p[/tex] avec [tex]m=\dfrac{y_{C'}-y_C}{x_{C'}-x_C}=\dfrac{1-(-1)}{-2-7}=-\dfrac 29[/tex], et on a : [tex]y_C=m x_C+p=-\dfrac 29x_C+p[/tex], soit [tex]-1=-\dfrac 29\times 7+p=-\dfrac{14}9+p[/tex], soit [tex]p=-1+\dfrac{14}9=-\dfrac{9}9+\dfrac{14}9=\dfrac 59\;.[/tex] Finalement, on a [tex](CC')\colon y=-\dfrac 29x+\dfrac 59\;.[/tex]
On a donc [tex]-\dfrac 29x_K+\dfrac 59=-\dfrac 29\times 1+\dfrac 59=-\dfrac 29+\dfrac 59=\dfrac 39=\dfrac 13=y_K[/tex], ce qui prouve que [tex]K[/tex] appartient bien à [tex](CC')\;.[/tex]
e) Dans un triangle, les médianes sont concourantes. Les droites [tex](AA')[/tex], [tex](BB')[/tex] et [tex](CC')[/tex] sont les médianes du triangle [tex]ABC[/tex]. Comme [tex]K[/tex] est le point d'intersection des droites [tex](AA')[/tex] et [tex](BB')[/tex], il appartient donc aussi à la droite [tex](CC')\;.[/tex]
f) Dire que [tex]K[/tex] est situé aux deux-tiers de [tex][AA'][/tex] revient à dire que [tex]AK=\dfrac 23AA'[/tex], ce qui revient à dire que [tex]AK^2=\dfrac 49 AA'^2\;.[/tex]
On a [tex]AA'^2=(x_A'-x_A)^2+(y_A'-y_A)^2=(1-1)^2+(-3-7)^2=100[/tex]
et [tex]AK^2=(x_K-x_A)^2+(y_K-y_A)^2=(1-1)^2+\left(\dfrac 13-7\right)^2=\dfrac{400}9[/tex], donc [tex]\dfrac 49 AA'^2=\dfrac 49\times 100=\dfrac{400}9=AK^2\;.[/tex]
On refait pareil avec les autres segments :
On a [tex]BB'^2=(x_B'-x_B)^2+(y_B'-y_B)^2=(4-(-5))^2+(3-(-5))^2=145[/tex]
et [tex]BK^2=(x_K-x_B)^2+(y_K-y_B)^2=(1-(-5))^2+\left(\dfrac 13-(-5)\right)^2=\dfrac{580}9[/tex], donc [tex]\dfrac 49 BB'^2=\dfrac 49\times 145=\dfrac{580}9=BK^2\;.[/tex]
On a [tex]CC'^2=(x_C'-x_C)^2+(y_C'-y_C)^2=(-2-7)^2+(1-(-1))^2=85[/tex]
et [tex]CK^2=(x_K-x_C)^2+(y_K-y_C)^2=(1-7)^2+\left(\dfrac 13-(-1)\right)^2=\dfrac{340}9[/tex], donc [tex]\dfrac 49 CC'^2=\dfrac 49\times 85=\dfrac{340}9=CK^2\;.[/tex]
Réponse :
Explications étape par étape
■ bonjour !
■ dans un triangle ABC,
dont le milieu de [ BC ] se nomme J,
le point de concours des 3 Médianes
ou Centre de Gravité G
est situé aux deux tiers du segment [ AJ ],
tel que vecteur AG = (2/3) * vect AJ .
En effet, on peut admettre que le point J
est affecté du coefficient 2
( avec le point A affecté du coeff 1 ),
ce qui implique la position du point G
pour respecter l' équilibre ...
On mène une telle expérience en Physique
avec un triangle en carton épais un peu lourd/dense .
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