1) Pour s'assurer que Dm et P ont des intersections, il faut que l'équation x²/4=mx+1
On cherche donc le déterminant de l'équation x²/4-m-1=0 (de la forme ax²+bx+c=0)
Δ=b²-4ac=(-m)²-4*1/4*(-1)=m²+1 > 0 donc il y a bien 2 solutions. Il existe donc 2 points d'intersection d'abscisse Xa et Xb.
2) Pour cette question je note a b et c les coefficients de l'équation x²/4-mx-1=0
(a=1/4 b=-m et c=-1)
Xa=(-b+[tex] \sqrt{Δ} [/tex])/2a et Xb=(-b-[tex] \sqrt{Δ} [/tex])2a
Donc Xa*Xb=(-b+[tex] \sqrt{Δ} [/tex])/2a * (-b-[tex] \sqrt{Δ} [/tex])/2a
C'est de la forme (x+y)(x-y) donc égal à x²-y²
D'ou Xa*Xb = ((-b²)-Δ)/4a² = (b²-b²+4ac)/4a² = c/a = -4
Xa+Xb=-2b/2a=-b/a = 4m
3) On note P(x) l'équation de la parabole :
La tangente à P en A à pour coefficient directeur P'(Xa) et elle passe par le point A de coordonnées (Xa;Xa²/4).
P'(x)=x/2 donc P'(Xa)=Xa/2
Notons Ta(x) l'équation de la tangente en A. Elle est de la forme Ta(x)=Xa/2*x+D avec C et D 2 réels.
Elle passe par A donc Xa²/4=Xa²/2+D donc D=-Xa²/4
L'équation de la tangente en A est Ta(x)=Xa/2*x-Xa²/4
Par analogie Tb(x)=Xb/2*x-Xb²/4
4) Le point Im a pour coordonnées (Xi;Yi).
On a simultanément :
Yi=Xa/2*Xi-Xa²/4 et Yi=Xb/2*Xi-Xb²/4
Donc Xa/2*Xi-Xa²/4=Xb/2*Xi-Xb²/4
Soit (Xa-Xb)/2*Xi=(Xa²-Xb²)/4
Soit (Xa-Xb)*Xi=(Xa-Xb)(Xa+Xb)/2 et Xi=(Xa+Xb)/2
Yi=Xa/2*(Xa+Xb)/2-Xa²/4=Xa*Xb/4
