Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
Exo 1 :
1) f(-4)=1; f(-2)=3 ; f(0)=1.
OK ?
2)
f(x)=a(x-α)²+β
On sait que le sommet S de la parabole a pour coordonnées (α;β).
Graphiquement S(-2;3) donc :
f(x)=a(x-(-2))²3 soit f(x)=a(x+2)²+3
Comme f(0)=1 on peut écrire :
1=a*2²+3 qui donne : a=-2/4=-1/2
3)
Donc f(x)=-(1/2)(x+2)²+3
4)
Tu sais développer , je suppose. Tu vas trouver :
f(x)=-(1/2)x²-2x+1
5)
Soient 3 ≤ a < b
3-3 ≤ a-3 < b-3
0 ≤ a-3 < b-3
0 ≤ (a-3)² < (b-3)² car la fct carrée est croissante sur [0;+inf[ donc on ne change pas le sens de l'inégalité en élevant au carré.
0 ≤ (a-3)²-2 < (b-3)²-2 car le fait d'ajouter "-2" ne change pas le sens de l'inégalité.
0 ≤ g(a) < g(b)
Sur [3;+inf[ est parti de a < b pour arriver à g(a) < g(b) , ce qui prouve que la fct g(x) est croissante sur cet intervalle.
Exo 2 :
Je te fais juste la factorisation :
f(x)=(2x-3)(4x+2)+(2x-3)(-6x-1)
f(x)=(2x-3)[(4x+2)+(-6x-1)]=(2x-3)(-2x+1)
g(x) peut s'écrire :
g(x)=((3x-4)(5x-1)-(3x-4)(3x-4)
g(x)=(3x-4)[(5x-1)-(3x-4)]=(3x-4)(5x-1-3x+4)
Tu finis.
Exo 3 :
1) Ces 2 nbs sont > 0 et sur [0;+inf[ la fct carrée est croissante donc
1.25 < 2.25 ==>(1.25)² < (2.25)²
2)
Sur ]-inf;0] , la fct carrée est décroissante donc :
-0.7 > -0.82 ==> (-0.7)² < (-0.082)²
3)
Comme en 1) donc :
pi-2 < pi+1 ==>(pi-2)² < (pi+1)²
4)
pi-1 < 4 et ces 2 nbs ∈[0;+inf[ donc :
(pi-1)² < 4² soit (pi-1)² < 16
Exo 4 :
Je fais seulement ce qui concerne le second degré :
(2x+3)(4x-5)=0
2x+3= 0 OU 4x-5=0
Tu finis.
(4x-7)(9x+5)=(8x-3)(4x-7)
(4x-7)(9x+5)-(8x-3)(4x-7)=0 -->mise en facteur :
(4x-7)[(9x+5)-(8x-3)]=0
(4x-7)(x+8)=0
4x-7=0 OU x+8=0
Tu finis.
(3x+2)(4x-8) ≥ 0
(3x+2)(4)(x-2) ≥ 0
4(3x+2)(x-2) ≥ 0
On fait un tableau de signes pour avoir le signe de : (3x+2)(x-2)
3x+2 > 0 pour x > -2/3 et x-2> 0 pour x > 2
x--------------->-inf.................-2/3.....................2........................+inf
(3x+2)-------->............-............0............+...................+.....................
(x-2)----------->...........-..........................-............0..........+............
(3x+2)(x-2)--->........+...............0...........-............0..................+.............
S=]-inf;-2/3] U [2;+inf[
49-(3+x)² ≤ 0
7²-(3+x)² ≤ 0 --->on a : a²-b²=(a+b(a-b)
[7+(3+x)][[7-(3+x)] ≤ 0
(x+10) (4-x) ≤ 0
Tu fais un tableau de signes comme je viens de faire et tu vas trouver :
S=]-inf;-10] U [4;+inf[
Exo 5 :
Le côté mesure (2x+7) donc la demi-base qui est perpendiculaire à la hauteur mesure : (2x+7)/2 soit x+3.5
On applique Pythagore dans le triangle rectangle dont l'hypoténuse mesure (2x+7) et les côtés de l'angle droit :
(5x-4) et (x+3.5)
Pythagore donne :
(5x+4)²+(x+3.5)²=(2x+7)²
25x²+40x+16+x²+14x+12.25=4x²+28x+49
26x²-x²+54x-28x+28.25-49=0
25x²+26x-20.75=0
Tu rentres la fct f(x)=25x²+26x-20.75 dans ta calculatrice et tu cherches les valeurs positives qui annulent f(x) avec :
Debtable : 0
PasTable =1
Tu vas trouver :
0 < x < 1
Car f(0) < 0 et f(0) > 0
Puis :
Debtable=0
PasTable=0.1
Tu vas trouver :
0.5 < x < 0.6
Car f(0.5) < 0 et f(0.6) > 0.
Tu continues :
PasTable=0.5
PasTable=0.01
Etc. Encore une étape !!
x ≈ 0.529 (arrondi au millième)
Bon courage !!
