Réponse : Bonjour,
1)[tex]\ln(e)+\ln(e^{2})+\ln(e^{3})=1+2+3=6\\\ln(e)-\ln(\frac{1}{e})=\ln(e)-\ln(e^{-1})=1-(-1)=1+1=2\\\ln(e\sqrt{e})=\ln(e)+\ln(\sqrt{e})=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\\\ln(e^{-2})+\ln(e^{-1})=-2-1=-3\\\ln(4e)+\ln(2e)=\ln(4)+\ln(e)+\ln(2)+\ln(e)=2\ln(2)+1+\ln(2)+1=3\ln(2)+2\\\ln(4e^{x})+\ln(2e^{x})=\ln(4)+\ln(e^{x})+\ln(2)+\ln(e^{x})=2\ln(2)+\ln(2)+x+x=3\ln(2)+2x[/tex].
(suite) [tex]e^{-\ln(x)}=\frac{1}{e^{\ln(x)}}=\frac{1}{x}\\e^{1+\ln(2)}=e^{1}e^{\ln(2)}=e \times 2=2e\\\frac{e^{(3+\ln(5))}}{e^{(4+\ln(4))}}=e^{3+\ln(5)-4-\ln(4)}=e^{-1+\ln(\frac{5}{4})}=e^{-1}e^{\ln(\frac{5}{4})}=\frac{1}{e} \times \frac{5}{4}=\frac{5}{4e}[/tex].
2) [tex]x^{12}=1,033\\\ln(x^{12})=\ln(1,033)\\12\ln(x)=\ln(1,033)\\\ln(x)=\frac{\ln(1,033)}{12}\\e^{\ln(x)}=e^{\frac{\ln(1,033)}{12}}\\ x=e^{\frac{1}{12}\ln(1,033)}[/tex].
Je vous laisse donner la valeur arrondie.
[tex]x^{3}=125000\\e^{3\ln(x)}=125000\\\ln(e^{3\ln(x)})=\ln(125000)\\3\ln(x)=\ln(125000)\\\ln(x)=\frac{\ln(125000)}{3}\\ e^{\ln(x)}=e^{\frac{1}{3}\ln(125000)}\\ x=e^{\frac{1}{3}\ln(125000)}[/tex]
La fonction x^3 est impaire, donc une solution de l'équation x^3=-125000, est [tex]x=-e^{\frac{1}{3}\ln(125000)}[/tex].
3) [tex]1,0325^{x}=1,25\\e^{x\ln(1,0325)}=1,25\\\ln(e^{x\ln(1,0325)})=\ln(1,25)\\x\ln(1,0325)=\ln(1,25)\\x=\frac{\ln(1,25)}{\ln(1,0325)}[/tex].
[tex]0,8^{x}=0,5\\e^{x\ln(0,8)}=0,5\\\ln(e^{x\ln(0,8)})=\ln(0,5)\\x\ln(0,8)=\ln(0,5)\\x=\frac{\ln(\frac{1}{2})}{\ln(\frac{4}{5})}=\frac{-\ln(2)}{\ln(4)-\ln(5)}[/tex]
[tex]3000(1,03)^{x}=3800\\(1,03)^{x}=\frac{3800}{3000}\\(1,03)^{x}=\frac{19}{15}\\ e^{x\ln(1,03)}=\frac{19}{15}\\ \ln(e^{x\ln(1,03)})=\ln(\frac{19}{15})\\ x\ln(1,03)=\ln(\frac{19}{15})\\ x=\frac{\ln(\frac{19}{15})}{\ln(1,03)}=\frac{\ln(19)-\ln(15)}{\ln(1,03)}[/tex].
Je vous laisse donner les valeurs arrondies.
4) [tex]1,04^{x} \geq 2\\e^{x\ln(1,04)} \geq 2\\\ln(e^{x\ln(1,04)}) \geq \ln(2)\\x\ln(1,04) \geq \ln(2)\\x \geq \frac{\ln(2)}{\ln(1,04)}[/tex].
[tex]0,9^{x} \leq 0,5\\e^{x \ln(0,9)} \leq 0,5\\\ln(e^{x\ln(0,9)}) \leq \ln(0,5)\\x \ln(0,9) \leq \ln(0,5)\\x \geq \frac{\ln(0,5)}{\ln(0,9)} \quad On \; change \; l'ordre \; car \; \ln(0,9) < 0[/tex].
[tex]3000(1,03)^{x} \leq 2500(1,04)^{x}\\(1,03)^{x} \leq \frac{2500}{3000}(1,04)^{x}\\\frac{(1,03)^{x}}{(1,04)^{x}} \leq \frac{2500}{3000}\\\frac{e^{x\ln(1,03)}}{e^{x\ln(1,04)}} \leq \frac{5}{6}\\e^{x\ln(1,03)-x\ln(1,04)} \leq \frac{5}{6}\\e^{x(\ln(1,03)-\ln(1,04))} \leq \frac{5}{6}\\\ln(e^{x(\ln(1,03)-\ln(1,04))}) \leq \ln(\frac{5}{6})\\ x(\ln(1,03)-\ln(1,04)) \leq \ln(\frac{5}{6})\\ x \geq \frac{\ln(\frac{5}{6})}{\ln(1,03)-\ln(1,04)} \quad On \; change \; l'ordre \; car \; \ln(1,03) < \ln(1,04)\\[/tex].
5)a) [tex]3x-2=2x-3\\3x-2x=-3+2\\x=-1[/tex].
b) Pour x=-1, 3x-2=2x-3, et la valeur commune des deux expressions est [tex]3 \times (-1)-2=-5[/tex]. Mais la fonction [tex]\ln[/tex], n'est définie que sur [tex]]0;+\infty[[/tex], donc [tex]\ln(-5)[/tex], n'a pas de sens, donc x=-1, n'est pas solution de l'équation [tex]\ln(3x-2)=\ln(2x-3)[/tex].
