Réponse :
Explications étape par étape :
■ A(4 ; 1) ; droite(d) : y = x+1 ; M(x ; y) ∈ droite (d) .
■ distance AM = ?
AM² = (x-4)² + (x+1 - 1)²
= x² - 8x + 16 + x²
= 2x²- 8x + 16
donc AM = √(2x²-8x+16) .
■ AM sera mini pour f(x) = 2x²-8x+16 mini :
dérivons :
f ' (x) = 4x - 8 nulle pour x = 2 .
la représentation graphique de f
est une Parabole " en U "
admettant un minimum
d' abscisse x = 2 .
■ f(b) - f(a) = 2b²-8b+16-2a²+8a-16
= 2 (b²-a²) - 8(b-a)
= 2(b-a)(b+a) - 8(b-a)
= 2(b-a) (b+a-4) .
or b > a donc il reste à étudier le signe de b+a-4 .
b+a-4 est positif pour b > a > 2
f est donc bien croissante pour x > 2 .
( de même, f est décroissante pour x < 2 )
■ xB = 2 donne yB = x+1 = 2+1 = 3
les coordonnées du minimum B sont donc (2 ; 3) .
■ triangle ABC :
AB² = 8 ; AC² = 3² + 1² = 10 ; BC² = 1² + 1² = 2
comme AC² = AB² + BC²
--> Pythagore dit que le triangle ABC
est rectangle en B .
comme C ∈ (d), on peut conclure
que la droite (AB) est perpendiculaire
ou "orthogonale" à la droite (d) .
