regarde l'image que l'ai mise
Soit H le pied de la hauteur. H est le milieu de [BC]
AB = AC = 6
CH = HC je note cette longueur x
je note la longueur de la hauteur y
1)
le triangle AHB est rectangle en H
AH = y ; HB = x ; AB = 6
BH² + HA² = BA² (Pythagore)
x² + y² = 36 (1)
2)
aire triangle = (base x hauteur) / 2
l'aire du triangle ABC est : ( BC * AH ) / 2 elle vaut 12
(2x * y) / 2 = xy
xy = 12 (2)
3) je reprends (1( et (2)
x² + y² = 36 (1) et xy = 12 (2)
a)
x² + 2xy + y² = 36 + 2*12
x² + 2xy + y² = 60
(x + y)² = 60
x + y = √60
x + y = 2√15 (3)
b)
x² - 2xy + y² = 36 - 24
(x - y)² = 12
deux cas selon que x est plus grand ou plus petit que y
si x - y > 0 x - y = √12 x - y = 2√3
si y - x > 0 y - x = √12 y - x = 2√3
on a deux systèmes à résoudre
I) x + y = 2√15 II) x + y = 2√15
x - y = 2√3 y - x = 2√3
le système I) a pour solution x = √15 + √3
y = √15 - √3
le système II) a pour solution x = √15 - √3
y = √15 + √3
il y a donc deux triangles possibles avec ces données
aire = 12 cm² ; AB = AC = 6
si x = √15 + √3 périmètre 12 + 2√15 + 2√3
si x = √15 - √3 périmètre 12 + 2√15 - 2 √3
