1)
la bissectrice de l'angle ABC coupe d en R
la bissectrice de l'angle ACB coupe d en I
On considère les triangles ABR et ACI
a) AB = AC (côtés du triangle ABC isocèle en A)
b) angle ABR = angle ACI (Ce sont les moitiés des angles à la base, égaux, du triangle isocèle)
c) les angles BAR et CAI ont même mesure
en effet :
d // (BC) : CAR = ACB angles alternes internes
CBA = BAI " " "
comme CBA = ACB (triangle isocèle) on en déduit que les angles CAR et BAI ont même mesure.
Si on ajoute à chacun d'eux l'angle BAC on obtient des sommes de même mesure.
Conséquence : les triangles ABR et ACI sont isométriques car
ils ont un côté de même longueur, compris entre deux angles de même mesure.
sommet homologues A → A
B → C
R → I
les côtés AR et AI étant les côtés homologues de deux triangles isométriques ils ont le même longueur
AR = AI
2)
On démontre que les triangles APR, BQP et CRQ sont isométriques
on compare APR et BQP
a) angle A = angle B = 60°
b) AP = BQ (hypothèse)
c) AR = BP (différence de segments égaux AR = AC - RC
BP = BA - AP
c'est un cas d'isométrie : un angle de même mesure compris entre deux côtés de même longueur
le côté homologues PR et PQ ont la même longueur
On recommence en comparant l'un de ces triangles au 3e CRQ, la démonstration est la :même
on en conclut que QR = PR = PQ le triangle est équilatéral.
