👤
ShawnF
Answered

Rejoignez la communauté FRstudy.me et obtenez les réponses dont vous avez besoin. Rejoignez notre plateforme pour recevoir des réponses rapides et précises de la part de professionnels expérimentés dans divers domaines.

Salut je dois rendre ce devoir le plus vite possible,Bon,je m'avançais bien dans cet exercice d'Arithmetique mais je me bloque après devant une question , Veuillez me prêter votre précieuse aide , Voici les données :
*a∧b=1 (Avec a et b des entiers naturels non nuls differents de 1 )
* (a²+ab+b²)∧(a²+b²)=1
* Soit P un nombre premier tel que p≥5 et P divise (a²+ab+b²)
ET voici la question : Montrer que p∧a=1 ET p∧b=1
Merci bien d'avance

Sagot :

ProfdeMaths1

Réponse :

Explications étape par étape

supposons par l'absurde que p ^ a ≠ 1 OU p ^ b ≠ 1

donc il existe un entier d tel d | p et d | a

or p | (a²+ab+b²) et d | a donc d | a² donc d | (a²+ab+b²-a²)

donc d | (ab+b²) donc d |b(a+b)

or a ^ b=1 donc (th de Gauss) d | b et d | a+b

donc d |(a+b)² donc d |((a+b)²-(a²+ab+b²)) donc d | ab

donc d |(a²+ab+b²-ab) donc d |(a²+b²)

ainsi (a²+ab+b²) ^ (a²+b²) = d ≠1

ce qui est impossible par hypothèse car (a²+ab+b²) et (a²+b²) sont premiers entre eux

Ainsi, l'hypothèse initiale est fausse !

soit : (p ^ a = 1) ET ( p ^ b = 1)

Merci de votre participation active. Continuez à poser des questions et à partager vos réponses. Ensemble, nous pouvons créer une ressource de connaissances précieuse pour tous. Merci d'avoir utilisé FRstudy.me. Nous sommes là pour répondre à toutes vos questions. Revenez pour plus de solutions.