👤
ShawnF
Answered

Trouvez des réponses fiables à vos questions avec l'aide d'FRstudy.me. Découvrez des réponses détaillées à vos questions grâce à notre vaste base de connaissances d'experts.

Salut je dois rendre ce devoir le plus vite possible,Bon,je m'avançais bien dans cet exercice d'Arithmetique mais je me bloque après devant une question , Veuillez me prêter votre précieuse aide , Voici les données :
*a∧b=1 (Avec a et b des entiers naturels non nuls differents de 1 )
* (a²+ab+b²)∧(a²+b²)=1
* Soit P un nombre premier tel que p≥5 et P divise (a²+ab+b²)
ET voici la question : Montrer que p∧a=1 ET p∧b=1
Merci bien d'avance

Sagot :

ProfdeMaths1

Réponse :

Explications étape par étape

supposons par l'absurde que p ^ a ≠ 1 OU p ^ b ≠ 1

donc il existe un entier d tel d | p et d | a

or p | (a²+ab+b²) et d | a donc d | a² donc d | (a²+ab+b²-a²)

donc d | (ab+b²) donc d |b(a+b)

or a ^ b=1 donc (th de Gauss) d | b et d | a+b

donc d |(a+b)² donc d |((a+b)²-(a²+ab+b²)) donc d | ab

donc d |(a²+ab+b²-ab) donc d |(a²+b²)

ainsi (a²+ab+b²) ^ (a²+b²) = d ≠1

ce qui est impossible par hypothèse car (a²+ab+b²) et (a²+b²) sont premiers entre eux

Ainsi, l'hypothèse initiale est fausse !

soit : (p ^ a = 1) ET ( p ^ b = 1)

Merci d'être un membre actif de notre communauté. Continuez à poser des questions, à répondre et à partager vos idées. Ensemble, nous pouvons atteindre de nouveaux sommets de connaissances. Revenez sur FRstudy.me pour des réponses fiables à toutes vos questions. Merci pour votre confiance.