Bonjour,
1) a) U₁ = U₀₊₁ = 0² + 1 = 1
U₂ = U₁₊₁ = 1² + 1 = 2
b) ci-dessous
2) a) V₁ = 3V₀ - 4 = 3 - 4 = -1
V₂ = 3V₁ - 4 = -3 - 4 = -7
b) ci-dessous
c) f(V₀) = 3V₀ - 4 = V₀₊₁ = V₁
d) ci-dessous
e) idem
3) Wₙ = 25 - 3x(0,7)ⁿ
⇒ Wₙ₊₁ = 25 - 3x(0,7)ⁿ⁺¹
⇒ Wₙ₊₁ - Wₙ = 25 - 3x(0,7)ⁿ⁺¹ - 25 + 3x(0,7)ⁿ
= 3x(0,7)ⁿ x (1 - 0,7)
= 0,9x(0,7)ⁿ
b) On en déduit : pour tout entier n, Wₙ₊₁ - Wₙ > 0 ⇒ (Wₙ) croissante
4) gₙ = (-1)ⁿ + 3
g₀ = (-1)⁰ + 3 = 1 + 3 = 4
g₁ = (-1)¹ + 3 = -1 + 3 = 2
g₂ = (-1)² + 3 = 1 + 3 = 4
donc (gₙ) n'est pas monotone, elle est alternée.
Généralisation : gₙ₊₁ - gₙ = (-1)ⁿ⁺¹ + 3 - (-1)ⁿ - 3 = (-1)ⁿ x (1 - (-1)) = 2 x (-1)ⁿ, donc alternativement > 0 pour n pair et négatif pour n impair.
5) Uₙ₊₁ = f(Uₙ) et f strictement croissante sur R
⇒ Uₙ₊₂ = f(Uₙ₊₁)
Or, f croissante ⇒ f(Uₙ₊₁) > f(Uₙ)
⇔ Uₙ₊₂ > Uₙ₊₁
⇒ (Un) croissante
6) Uₙ = f(n) et f strictement croissante sur R
n+1 > n ⇒ f(n+1) > f(n) ⇒ Uₙ₊₁ > Uₙ ⇒ (Un) croissante
