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Fanfan56
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Bonjour,

Ceci est un exercice corrigé, Pourriez-vous me détailler les étapes
Merci

dans un cercle de rayon r, on inscrit un carré dans lequel on inscrit un cercle…

Si a est le rayon du cercle donné et c1 le côté du carré inscrit, nous avons, dans le triangle rectangle OAB:

|OA|² = |OB|² + |BA|²
où |OA| = a et |OB| = |BA| c1/2
d'où a²=2*c²1/4 et c1 = aV2 (1)
|OB| est aussi le rayon a2 du 2e cercle , d'où a2 = aV2/2


"les rayons des cercles successifs forment donc une suite géométrique de raison V2/2:

a, aV2/2, a*1/2, a*V2/4" (Comment on arrive là.)

La formule (1) appliquée à a=a2 fournit le côté c2 du 2e carré:

c2 = a2 = a2 * V2 =( aV2)/2*V2 = (aV2)*V2 /2 = c1 * V2/2

ce qui montre que les côtés des carrés successifs forment aussi une suite géométrique de raison V2/2:
a *V2, a, a*V2/2 ,a*1/2...


a) Somme des longueurs des cercles successifs 2pia(2+V2)
b) Somme des aires des carrés successifs: 4a²

Merci aussi de m'expliquer la marche à suivre pour a) et b)

Sagot :

Croisierfamily

Réponse :

Explications étape par étape :

■ rappel :

   Somme des n termes d' une suite géom

     de terme initial U1 et de raison q

       = U1 x (1 - q puissance n) / (1 - q) ♥

■ tableau-résumé des suites de cet exercice :

        Rcercle -->   a          a/√2        a/2           a/(2√2)

Périm Cercle --> 2πa       πa√2        πa            πa/√2

   côté carré --> a√2        a/2       a/(2√2)          a/4

   Aire carré -->  a²/2       a²/4         a²/8            a²/16

■ la suite géométrique des Rayons des cercles

    est une suite de terme initial " a "

      et de raison q = 1/√2 ≈ 0,7o71 .

   Les Périmètres des cercles forment aussi

    une suite géométrique de terme initial 2πa

      et de raison q = 1/√2 .

   La somme de TOUS les Périmètres = 2πa x 1 / (1 - 1/√2)

                                                               = 2√2 πa / (√2 - 1)

    on multiplie Numérateur et Dénom par (√2 + 1) :

                                                               = (4+2√2) πa

                                                               = 2(2+√2) πa .

■ la suite géom des côtés des carrés admet

     pour terme initial a√2

         et pour raison q = 1/√2

    donc la suite géom des Aires des carrés

     admet pour terme initial (a√2)² = 2a²

       et pour raison (1/√2)² = 0,5 .

   La somme de toutes les Aires des carrés = 2a² / 0,5 = 4a² .

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