Bonjour ;
1.
1998 = 2 x 999 = 2 x 9 x 111 = 2 x 9 x 3 x 37 = 2 x 3³ x 37 ;
donc les nombres entiers naturels dont le carré est un
diviseur de 1998 sont : 1 et 3 .
2.
Comme S est le PGCD de a et b , donc il existe deux nombres
entiers naturels premiers entre-eux A et B tels que : a = SA
et b = SB .
Comme M est le PPCM de a et b , donc on a : M = SAB .
On a : M² - 3S² = (SAB)² - 3S² = S²A²B² - 3S² = S²(A²B² - 3) = 1998 ;
donc S est un nombre entier naturel donc le carré est un diviseur
de 1998 , donc S peut être égal à 3 ou 1 .
Si S = 3 ;
donc : 9(A²B² - 3) = 1998 ;
donc : A²B² - 3 = 222 ;
donc : A²B² = 225 = 15² ;
donc : AB = 15 ;
donc : (A;B) ∈ {(1;15) , (3;5) , (5;3) , (15;1)}
donc : (a;b) ∈ {(3;45) , (9;15) , (15;9) , (45;3)} .
Si S = 1 ;
donc : A²B² - 3 = 1998 ;
donc : A²B² = 2001 qui n'est pas un carré parfait ; donc S = 1
ne convient pas .
Conclusion :
L'ensemble des couples (a;b) solutions de l'équation est :
{(3;45) , (9;15) , (15;9) , (45;3)} .
