Réponse : Bonjour,
1) Démontrons par récurrence que pour tout [tex]n \in \mathbb{N}, u_{n} \geq n+1[/tex].
Initialisation: Pour n=0, [tex]u_{0}=1[/tex], et [tex]u_{0} \geq 0+1[/tex], donc la propriété est vérifiée à l'ordre n=0.
Hérédité: Supposons la propriété vraie à l'ordre n, c'est à dire que [tex]u_{n} \geq n+1[/tex], et montrons là à l'ordre n+1, que [tex]u_{n+1} \geq n+1+1[/tex], il faut donc montrer que [tex]u_{n+1} \geq n+2[/tex].
On remarque que [tex]u_{n+1}=f(u_{n})[/tex], avec [tex]f(x)=1+x^{2}[/tex].
Étudions les variations de f sur [0:+∞[.
[tex]f'(x)=2x[/tex], donc [tex]f'(x) \geq 0[/tex] sur [0;+∞[, donc f est croissante sur [0;+∞[.
D'après l'hypothèse de récurrence:
[tex]u_{n} \geq n+1\\f(u_{n}) \geq f(n+1) \quad car \; f \; est \; croissante \; sur \; [0;+\infty[\\ u_{n+1} \geq 1+(n+1)^{2} \\ u_{n+1} \geq 1+n^{2}+2n+1 \\ u_{n+1} \geq n^{2}+2n+2[/tex]
Or [tex]n^{2}+2n+2=n^{2}+n+n+2 \geq n+2 \quad car \; n \; entier \; naturel[/tex].
On a donc montré que [tex]u_{n+1} \geq n+2[/tex], la propriété est donc vérifiée à l'ordre n+1, donc d'après le principe de récurrence, pour tout n entier naturel, [tex]u_{n} \geq n+1[/tex].
2) Pour tout n entier naturel, [tex]u_{n} \geq n+1[/tex].
Or [tex]\lim_{n \mapsto +\infty} n+1=+\infty[/tex], on en déduit donc que [tex]\lim_{n \mapsto +\infty} u_{n}=+\infty[/tex].
