Bonjour;
1.
u_2 = 3,5 et u_3 = 5,75 .
2.
a.
On peut conjecturer que (u_n) est strictement croissante .
b.
On peut conjecturer que la limite de (u_n) est : + ∞ .
3.
a.
v_0 = 1 ; v_1 = 1,5 et v_2 = 2,25 .
b.
v_(n + 1) = u_(n + 2) - u_(n + 1)
= 5/2 u_(n + 1) - 3/2 u_n - u_(n + 1)
= 3/2 u_(n + 1) - 3/2 u_n
= 3/2 (u_(n + 1) - u_n) .
On a : v_(n + 1) = 3/2 (u_(n + 1) - u_n) = 3/2 v_n ;
donc (v_n) est une suite géométrique de raison 3/2 et de
premier terme v_0 = 1 .
Pour tout n ∈ IN ; v_n = v_0 (3/2)^n = (3/2)^n .
c.
Pour tout n ∈ IN ; u_(n + 1) - u_n = v_n = (3/2)^n > 0 ;
donc (u_n) est strictement croissante .
4.
a.
(v_n) est une suite géométrique de raison 3/2 et de
premier terme v_0 = 1 ; donc S_n = ((3/2)^n - 1)/(3/2 - 1)
= ((3/2)^n - 1)/(1/2) = 2((3/2)^n - 1) .
b.
S_n = (u_1 - u_0) + (u_2 - u_1) + ... + (u_n - u_(n - 1))
= - u_0 + u_n = u_n - u_0 = u_n - 1 .
On a donc : u_n - 1 = 2((3/2)^n - 1 = 2(3/2)^n - 2 ;
donc : u_n = 2(3/2)^2 - 1 .
5.
a.
u_n > 10^9 ;
donc : 2(3/2)^2 - 1 > 10^9 ;
donc : 2(3/2)^n > 10^9 + 1 ;
donc : (3/2)^n > (10^9 + 1)/2 ;
donc : ln((3/2)^n) > ln((10^9 + 1)/2) ;
donc : n ln(3/2) > ln((10^9 + 1)/2) ;
donc : n > (ln((10^9 + 1)/2))/(ln(3/2)) ;
donc : n = 50 est le plus petit nombre entier naturel
qui vérifiz la condition u_n > 10^9 .