Sagot :
Réponse : Bonsoir,
1) Pour x > 0, 2+x > 0, donc f est bien définie, et par définition de la fonction racine carrée, elle est positive, donc f(x) > 0.
2) Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n, [tex]u_{n} > 0[/tex].
Initialisation: A l'ordre n=0, [tex]u_{0}=2\cos \theta[/tex], comme [tex]\theta \in ]0;\frac{\pi}{2}[, \; \cos \theta > 0[/tex], donc [tex]u_{0} > 0[/tex].
Hérédité: Supposons la propriété vraie à l'ordre n, c'est à dire que [tex]u_{n} > 0[/tex], et montrons là à l'ordre n+1, c'est à dire que [tex]u_{n+1} > 0[/tex].
On remarque que [tex]u_{n+1}=f(u_{n})[/tex], avec [tex]f(x)=\sqrt{2+x}[/tex].
Étudions les variations de f.
Pour cela, on calcule la dérivée f'.
[tex]f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{2+x}}[/tex].
A la question 1, on a vu que pour x > 0, [tex]\sqrt{2+x} > 0[/tex].
Donc [tex]f'(x) > 0[/tex], quand [tex]x \in ]0;+\infty[[/tex].
Donc f est croissante sur [tex]]0;+\infty[[/tex].
D'après l'hypothèse de récurrence:
[tex]u_{n} > 0\\f(u_{n}) > f(0) \quad car \; f \; est \; croissante \; sur \; ]0;+\infty[\\u_{n+1} > 0[/tex].
La propriété est donc vérifiée à l'ordre n+1, donc pour tout entier naturel n, [tex]u_{n} > 0[/tex].
3) [tex]u_{1}=\sqrt{2+u_{0}}=\sqrt{2+2 \cos \theta}=\sqrt{2^{2}\left(\frac{1+\cos \theta}{2}\right)}=\sqrt{2^{2}\left(\frac{1+\cos(2 \frac{\theta}{2})}{2}\right)}\\u_{1}=\sqrt{2^{2}\cos^{2}(\frac{\theta}{2})}=2 |\cos(\frac{\theta}{2})|\\\theta \in ]0;\frac{\pi}{2}[, \; donc \; \frac{\theta}{2} \in ]0;\frac{\pi}{4}[, \; et \; donc \; \cos(\frac{\theta}{2}) > 0.\\Donc \; u_{1}=2\cos(\frac{\theta}{2})[/tex].
4) [tex]u_{2}=\sqrt{2+u_{1}}=\sqrt{2+2\cos(\frac{\theta}{2})}=\sqrt{2^{2} \left(\frac{1+\cos(2 \frac{\theta}{4})}{2}\right)}=\sqrt{2^{2} \cos^{2}(\frac{\theta}{4})}\\u_{2}=2|\cos(\frac{\theta}{4})|\\\theta \in ]0;\frac{\pi}{2}[, \cos(\frac{\theta}{4}) > 0[/tex]
Donc [tex]u_{2}=2\cos(\frac{\theta}{4})[/tex].
5) On peut conjecturer que pour tout entier naturel n, [tex]u_{n}=2\cos(\frac{\theta}{2^{n}})[/tex].
6) Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n, [tex]u_{n}=2\cos(\frac{\theta}{2^{n}})[/tex].
Initialisation: A l'ordre n=0, [tex]u_{0}=2\cos(\frac{\theta}{2^{0}})=2\cos(\frac{\theta}{1})=2\cos(\theta)[/tex].
Donc la propriété est vérifiée à l'ordre n=0.
Hérédité: Supposons la propriété vraie à l'ordre n, c'est à dire que [tex]u_{n}=2\cos(\frac{\theta}{2^{n}})[/tex], et montrons là à l'ordre n+1, c'est à dire que [tex]u_{n+1}=2\cos(\frac{\theta}{2^{n+1}})[/tex].
On a:
[tex]u_{n+1}=\sqrt{2+u_{n}}=\sqrt{2+2\cos(\frac{\theta}{2^{n}})}=\sqrt{2^{2}\left(\frac{1+\cos(\frac{\theta}{2^{n}})}{2}\right)}\\u_{n+1}=\sqrt{2^{2}\left(\frac{1+\cos(2\frac{\theta}{2^{n+1}})}{2}\right)}=\sqrt{2^{2} \cos^{2}(\frac{\theta}{2^{n+1}})}=2|\cos(\frac{\theta}{2^{n+1}})|\\\theta \in ]0;\frac{\pi}{2}[, donc \; pour \; tout \; entier \; naturel \; n, \; \frac{\theta}{2^{n+1}} \in ]0;\frac{\pi}{2}[, \; donc \; \cos(\frac{\theta}{2^{n+1}}) > 0\\Donc \; u_{n+1}=2\cos(\frac{\theta}{2^{n+1}})[/tex].
La propriété est vérifiée à l'ordre n+1, donc pour tout entier naturel n, [tex]u_{n}=2\cos(\frac{\theta}{2^{n}})[/tex].
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