Réponse :
(Zn) Z0 = 0 et Zn+1 = iZn + 4
1) calculer les 3 premiers termes
Z1 = iZ0 + 4 = 4
Z2 = iZ1 + 4 = 4i + 4
Z3 = iZ2 + 4 = i(4i+4) + 4 = 4i² + 4i + 4 = - 4 + 4i + 4 = 4i (i² = - 1)
2) Un = Zn - 2 - 2i
démontrer que pour tout entier naturel n, Un+1 = iUn
Un+1 = Zn+1 - 2 - 2i
= iZn + 4 - 2 - 2i
= iZn + 2 - 2i
= i(Zn - 2i - 2) or Zn - 2i - 2 = Un
donc Un+1 = iUn
3) démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n,
Un = (- 2 - 2i)iⁿ
a) initialisation : vérifions que P(0) est vraie
U0 = Z0 - 2 - 2i = - 2 - 2i
U0 = (- 2 - 2i)i⁰ = - 2 - 2i
donc P(0) est vraie
b) hérédité : supposons que P(n) est vraie pour tout entier naturel n
et montrons que P(n+1) est aussi vraie pour tout entier naturel n
Un+1 = Zn+1 - 2 - 2i = iUn (déjà vu ci-dessus)
Un+1 = (- 2 - 2i)iⁿ⁺¹ = (- 2 - 2i)iⁿ x i = i(- 2 - 2i)iⁿ) = iUn
c) conclusion : on a vérifié que P(0) est vraie et que P(n) est héréditaire
donc par récurrence P(n) est vraie pour tout entier naturel n
3) en déduire une expression de Zn en fonction de n
Un = Zn - 2 - 2i ⇒ Zn = Un + 2 + 2i = (- 2 - 2i)iⁿ + 2 + 2i
Zn = - 2iⁿ - 2iⁿ⁺¹ + 2 + 2i
Explications étape par étape