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Une entreprise produit des crayons de couleur. Lorsque la quantité q (exprimée en milliers) est comprise entre 4 et 10, on admet que le coût de production journalier est donné par C(q)= q^3 - 48q + 600. L'entreprise vend 99 euros chaque millier de crayon.

1.a) exprimer la recette pour la vente de q milliers de crayon.
b) montrer que le bénéfice journalier B(q), exprimé en euro, est donné par B(q)= -q^3+147q-600 avec q appartenant à [4;10].

2.a) Calculer B'(q) où B désigne la dérivée de la fonction B.
b) En déduire le nombre de milliers de crayons à produire quotidiennement pour obtenir un bénéfice maximal.
c) Quel est ce bénéfice maximal?

Sagot :

Bonjour,

1a) Recette R(q) = 99q

Bénéfice = Recette - Coût de production
B(q) = 99q - (q^3 - 48q + 600)
       = 99q - q^3 + 48q - 600
       = -q^3 + 147q - 600

2a) B'(q) = -3q² + 147
             = -3(q² - 49)

b) Signe de B'(q).
Racines : -3(q² - 49) = 0 ===> q² - 49 = 0
                                  ===> (q - 7)(q + 7) = 0
                                  ===> q - 7 = 0   ou   q + 7 = 0
                                  ===> q = 7  ou  q = -7

[tex]\begin{array}{|c|ccccccc||}q&-\infty&&-7&&7&&+\infty\\ B'(q)=-3q^2+147&&-&0&+&0&-& \\ B(q)&&\searrow&&\nearrow&86&\searrow& \\\end{array}[/tex]

Or q ∈ [4 ; 10]

[tex]\begin{array}{|c|ccccc||}q&4&&7&&10\\ B'(q)=-3q^2+147&&+&0&-& \\ B(q)&-76&\nearrow&86&\searrow&-130 \\\end{array}[/tex]

Pour obtenir un bénéfice maximal, il faut produire 7 000 crayons.

c) Ce bénéfice maximal vaudra 86 €.

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