Réponse : Bonsoir,
3) En effet, on peut conjecturer que [tex]S_{n}=n[/tex].
Démontrons le par récurrence.
Initialisation: n=1, [tex]S_{1}=\sqrt{2 \times 1-1}=\sqrt{1}=1[/tex].
La propriété est vérifiée à l'ordre n=1.
Hérédité: Supposons la propriété vraie à l'ordre n, c'est à dire que [tex]S_{n}=n[/tex], et montrons là à l'ordre n+1, c'est à dire que [tex]S_{n+1}=n+1[/tex].
D'après l'hypothèse de récurrence:
[tex]S_{n}=n\\S_{n}^{2}=n^{2}=1+3+5+...+(2n-1)\\Donc \; S_{n+1}=\sqrt{1+3+5+...+(2n-1)+(2n+1)}=\sqrt{n^{2}+2n+1}\\S_{n+1}=\sqrt{(n+1)^{2}}=|n+1|=n+1 \quad car \; n+1>0[/tex].
On a donc montré que [tex]S_{n+1}=n+1[/tex], donc la propriété est vérifiée à l'ordre n+1, donc pour tout [tex]n \in \mathbb{N}^{*}[/tex], [tex]S_{n}=n[/tex].