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Takeer
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bonjour alors jai besoin d'aide sur cet exercice svp:

on considere la suite (Un) définie par U0=3/2 et telle que pour tout entier natirel n, Un+1=6Un/3+Un

1.a) calculer u1 u2.
je lai fait et je trouve pour u1 =2 et pour u2=12/5

b) Démontrer , par reccurence que pour tout entier naturel n, 0< Un

voila ce que j'ai fait :

a)initialisation :
on associe p(n) : Un > 0
Au rang 0 , on a U0=3/2 >0
La propriété est donc vraie au rang 0

b) Hérédité :
Supposons que la propriété P(n) est vraie au rang n.
Verifions que cela est aussi vraie au rang n+1.

a partir de la je bloque totalement

2.On admet que pour tout entier naturel n, Un< 3
a) démontrer que la suite (Un) est croissante.
b) Demontrer que la suite (Un) converge

pour la question2 je n'ai pas réussi.

merci !!

​

Sagot :

Laurance

Réponse :

Explications étape par étape

b) Hérédité :

Supposons que la propriété P(n) est vraie au rang n.

Un > 0

alors  6Un > 0    et    3+Un > 3 > 0

donc  Un+1  > 0 :   cela est aussi vraie au rang n+1.

2)Un< 3

a)

un+1  -   un  =  6Un/(3+Un)  -  6Un/6  

=  6Un (   1/(3+un)    -  1/6)    =  6Un(  6 - 3 - un)  /(  (3+un)6  )  

= 6Un(  3 - un)  /(  (3+un)6  )

comme    Un > 0 et  Un< 3   alors  6Un(  3 - un)  /(  (3+un)6  )> 0

un+1 -un > 0         montre que la suite (Un) est croissante.

b) la suite (Un) est croissante. et elle est majorée par 3 ( Un< 3 )

Donc  la suite (Un) converge

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