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Sagot :
Réponse :
Bonjour,
Explications étape par étape
1) f(x) a la forme d'un trinôme du second degré dont le coefficient de x² (4) est positif.
Une telle fonction est décroissante de moins l'infini à son sommet (d'abscisse x=-b/(2a))
puis croissante de ce même sommet à plus l'infini.
Les coordonnées du sommet sont :
x = -b / (2a) = - (-12) / 8 = 3/2 = 1,5
y = ( 4ac - b² ) / ( 4a ) = -12
ce sommet est un minimum.
Voir tableau de variation en annexe.
2) f(x) = m
4x² - 12x - 3 = m
4x² - 12x - ( m + 3 ) =0
Delta = 12² - 4 . 4 . ( m + 3 )
= 144 - 16 ( m + 3 )
= 16 . 9 - 16 ( m + 3 )
=16 [ 9 - ( m + 3 ) ]
= 16 ( 9 - m - 3 )
= 16 ( 6 - m )
Delta < 0 6 - m < 0 m > 6 pas de racine
Delta = 0 6 - m = 0 m = 6 1 racine
Delta > 0 6 - m > 0 m < 6 2 racines
3) Le Delta de f(x) = 0 vaut 192 = 64 . 3 = 8² . 3
solutions : x = 3/2 + racine( 3 ) et x = 3/2 - racine( 3 )
4) il faut déterminer le signe de f(x) - 4
f(x) - 4 = ( 4x² - 12 x - 3 ) - 4
= 4x² - 12 x - 7
Delta = 144 + 112 = 256 = 16²
Racines : -1/2 et 7/2
Un polynôme du second degré a toujours le même signe que celui de son coefficient de degré le plus élevé (a=4>0) sauf entre ses éventuelles racines.
si x < -1/2 ou x > 7/2 , f(x) au dessus de la droite y = 4
si x apparient à ]-1/2;3/2[ f(x) est en dessous
voir graphique de la seconde annexe, la courbe C est en rouge et la droite y = 4 en bleu
J'espère t'avoir aidé...
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