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(pour tout n € N) : 3²ⁿ -1 est un multiple de 4.
Appelons p(n) la propriété : 3²ⁿ -1 est un multiple de 4.
ce qui peut s'écrire : il existe un entier k tel que
3²ⁿ -1 = 4k
p(n) : 3²ⁿ - 1 = 4k
p(n+1) : 3²ⁿ+² - 1 = 4k'
1) initialisation
si n = 0 alors 3⁰ -1 = 4k
alors 1 - 1 = 4k
vrai car 0 est multiple de tous les nombres
p(0) vraie
2) hérédité
on veut démontrer que si p(n) est vraie alors p(n+1) est vraie
Si 3²ⁿ - 1 = 4k alors 3²ⁿ+² - 1 = 4k'
(pour passer de 3²ⁿ à 3²ⁿ+² on doit multiplier par 3²
Si 3²ⁿ - 1 = 4k alors 3² ( 3²ⁿ - 1 = 3²(4k)
alors 3²ⁿ+² - 3² = 36k
alors 3²ⁿ+² - 1 - 8 = 36k
alors 3²ⁿ+² - 1 = 8 + 36k
alors 3²ⁿ+² - 1 = 4(2 + 9k)
on a trouvé k' (= 2 + 9k) tel que
3²ⁿ+² - 1 = 4k'
on a démontré que si p(n) est vraie alors p(n+1) est vraie
la propriété est héréditaire
3) conclusion
puisque p(0) est vraie et que la propriété est héréditaire alors p(n) est vraie pour tout naturel