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On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x)=ln(abs(exp(x/2)−exp(x)
Calculer les limites de la fonction f en 0,+∞ et −∞
Démontrer pour tout x appartient à ]0;+∞[  f(x)=x+ln(1-exp(-x/2))
et pour x appartient à ]0;-∞[  f(x)=x/2+ln(1-exp(x/2))

Sagot :

I exp(x/2)-exp(x) I = I exp(x/2)*(1-exp(x)) I
On fait un changement de variable en X=exp(x/2)
ln( I exp(x/2)-exp(x) I ) = ln(IX*(1-X)I)
Limite en 0 :
Si x tend vers 0, exp(x/2) tend vers 1. Si X tend vers 1, X*(1-X) tend vers 0 donc ln(IX*(1-X)I) tend vers -oo
Limite en +oo :
Si x tend vers +oo, exp(x/2) tend vers +oo. Si X tend vers +oo, X*(1-X) tend vers -oo et IX*(1-X)I tend vers +oo donc f(x) tend vers +oo
Limite en -oo :
Si x tend vers -oo, exp(x/2) tend vers 0. Si X tend vers 0, X*(1-X) tend vers 0 et f(x) tend vers -oo.

Sur ]0;+oo[ : f(x)=ln(exp(x)-exp(x/2))
f(x)=ln(exp(x)*(1-exp(-x/2)))
f(x)=ln(exp(x))+ln(1-exp(-x/2))
f(x)=x+ln(1-exp(-x/2))

Sur ]-oo;0[ : f(x)=ln(exp(x/2)-exp(x))
f(x)=ln(exp(x/2)*(1-exp(x/2)))
f(x)=ln(exp(x/2))+ln(1-exp(x/2))
f(x)=x/2+ln(1-exp(x/2))
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