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Sagot :
Réponse :
Explications étape par étape
Bonjour
EXERCICE 2 Double distributuvite et parité
On pose: N= 3n² + 2n +1
1) montrer que si n est pair alors N est impair
n est pair s’il est égal à 2k
N = 3(2k)² + 2 (2k) + 1
N = 3 x 4k ² + 4k + 1
N = 12k ² + 4k + 1
12k ² est pair
4k est pair
Donc N est impair avec l’ajout de 1
2) Montrer que si n est impair alors N est pair
a) En écrivant n sous forme n=2k + 1
n est impair s’il est égal à : 2k + 1
N = 3(2k + 1)² + 2 (2k + 1) + 1
N = 3 x (4k ² + 4k + 1) + 4k + 2 + 1
N = 12k ² + 12k + 3 + 4k + 3
N = 12k ² + 16k + 6
12k ² est pair
16k est pair
Donc N est pair puisqu’on ajoute 6 qui est pair
EXERCICE 3
1) Montrer en utilisant sa décomposition en produit de facteurs premiers que 3136 est un carré
3136/2 = 1568
1568/2 = 784
784/2 = 392
392/2 = 196
196/2 = 98
98/2 = 49
49/7 = 7
7/7 = 1
3136 = 2^6 x 7^2
3136 = (2 x 7)^2 x 2^4
3136 = (2 x 7)^2 x (2^2)^2
3136 = (2 x 7 x 4)^2
3136 = 56^2
2) Montrer en utlisant sa décomposition en produit de facteurs premiers que 1728 est un cube
1728/2 = 864
864/2 = 432
432/2 = 216
216/2 = 108
108/2 = 54
54/2 = 27
27/3 = 9
9/3 = 3
3/3 = 1
1728 = 2^6 x 3^3
1728 = (2^3)^2 x 3^3
1728 = 2^3 x 2^3 x 3^3
1728 = (2 x 2 x 3)^3
1728 = 12^3
Bonjour,
Exercice 2:
Soit N = 3n² + 2n + 1
1) Si n est pair alors il existe k appartenant aux entiers natuels, tel que n = 2k. D'où n² = (2k)² = 2k² donc n² est pair, de plus un nombre pair multiplier par n'importe quel nombre donne toujours un nombre pair donc 3n² est pair.
2n est pair car n'importe quel nombre multiplier par 2 est pair.
Donc pour n pair, 3n² + 3n est pair. Or dans N on ajoute 1.
Donc N = 3n² + 2n + 1 est impair si n est pair.
2) a) Si n est impair alors il existe k appartenant aux entiers naturels tel que n = 2k + 1. On a donc n² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1, donc n² est impair. Donc 3n² est impair car la multiplication de deux nombres impaires donne toujours un nombre impair.
2n est pair car n'importe quel nombre multiplier par 2 est pair.
Ainsi 3n² + 2n est impair car la somme d'un nombre pair et d'un nombre impair donne un nombre impair.
Or on y ajoute 1 donc N = 3n² + 2n + 1 est pair si n est impair.
b) Je n'en sais rien ça fait bien longtemps que j'ai quitté le collège.
Exercice 3:
1) Décomposition de 3136:
3136 | 2
1568 | 2
784 | 2
392 | 2
196 | 2
98 | 2
49 | 7
7
Donc 3136 = 2⁶ * 7² = 2*2*2*7 * 2*2*2*7 = 56 * 56 = 56²
Donc 3136 = 56²
2) Décomposition de 1728:
1728 | 2
864 | 2
432 | 2
216 | 2
108 | 2
54 | 2
27 | 3
9 | 3
3
Donc 1728 = 2⁶ * 3³ = 2*2*3 * 2*2*3 * 2*2*3 = 12 * 12 * 12 = 12³
Donc 1728 = 12³
Bonne journée,
Thomas
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