Réponse:
J'ai adopté une notation simplifiée
1)
[tex] \frac{ - 5 {x}^{2} + 3x - 2}{2x + 7} = \frac{ {x}^{2}( - 5 + \frac{3}{x} - \frac{2}{ {x}^{2} } ) }{x(2 + \frac{7}{x}) } = \frac{ x( - 5 + \frac{3}{x} - \frac{2}{ {x}^{2} } ) }{2 + \frac{7}{x} } [/tex]
lim(x)=-∞
-∞
lim(-5+3/x-2/x²)=-5
-∞
lim(2+7/x)=2
-∞
dinc par produit et quotient de limite
limf(x) = +∞
-∞
2)
-1≤ sinx ≤ 1
-1 ≤ cosx ≤ 1
-2 ≤ sinx + cosx ≤ 2
-2/x ≤ (sinx + cosx)/x ≤ 2/x avec x > 0
lim(-3/x) = lim(2/x) = 0
+∞ +∞
D'apres le théorème des gendarmes, lim g(x) = 0
3.
√(x²-4)= √(x-2)√(x+2)
x²-5x+6 = (x-2)(x-3)
x-2 = √(x-2)² pour x > 2
h(x) = √(x-2)√(x+2)/[√(x-2)²(x-3)]
h(x) = √(x+2)/[(x-3)√(x-2)]
lim√(x+2) = 2
2+
lim(x-3)= -1
2+
lim√(x-2) = 0+
2+
par produit et quotient des limites
lim h(x) = -∞
2+
4)
-1 ≤ sinx ≤ 1
1 ≤ 3-2sinx ≤ 5
1/5 ≤ 1/(3-2sinx) ≤ 1
-1 ≤ cos x ≤ 1
x-1 ≤ x + cos x ≤ x+1
l'inégalité est compatible avec le.priduit par un réel strictement positif :
(x-1)/5 ≤ (x+cos x)/(3-2sinx) ≤ x+1
lim(x-1)/5 = +∞
+∞
donc lim(x+cos x)/(3-2sinx) =+∞
+∞
d'apres le theoreme de comparaison.
