Réponse :
1) montrer que la fonction f admet pour dérivée la fonction f '(x)
f '(x) = (x²- 2)/x²
f (x) = x + 2/x - 2
f '(x) = 1 - 2/x²
= (x² - 2)/x²
2) a) donner le coefficient directeur de la tangente T, justifier votre réponse
f '(2) = (4-2)/4 = 2/4 = 1/2
le nombre dérivée f '(2) est le coefficient directeur de la tangente T
donc f '(2) = a = 1/2
b) déterminer l'équation réduite de la tangente T
l'équation de la tangente est : y = f(2) + f '(2)(x-2)
f(2) = 2+(2/2) - 1 = 1
f '(2) = 1/2
y = 1 + 1/2(x - 2)
= 1 + (1/2) x - 1
donc l'équation de la tangente T est : y = 1/2) x
3) sur ]0 ; + ∞[ étudier le signe de f(x) - (1/2) x
f(x) - (1/2) x = x + (2/x) - 2 - (1/2) x
= x/2) + (2/x) - 2
= (x² - 2 x + 4)/2 x
or x ∈ ]0 ; + ∞[ ⇔ x > 0 ⇔ 2 x > 0
étudions le signe de x² - 2 x + 4
Δ = 4 - 16 = - 14 < 0 donc le signe du trinôme dépend du signe de a = 1 > 0
Donc f(x) - (1/2) > 0
b) en déduire la position relative de Cf et (d)
puisque on a f(x) - (1/2) x > 0 donc la courbe Cf est au-dessus de la droite (d)
Explications étape par étape