Réponse :
1) puisque b0 = 1 ; b1 = - 1/(2+1) ; b2 = - 1/(2 + (- 1/(2+1))
donc on peut écrire b1 = - 1/(2 + b0) et b2 = - 1/(2 + b1) etc...
Donc bn+1 = - 1/(2+bn) avec bn > - 2
2) a) montrer que bn+1 - bn = - (1+bn)²/(2+bn)
on écrit bn+1 - bn = - 1/(2+bn) - bn
= - 1/(2+bn) - bn(2+bn)/(2+bn)
= (- 1 - 2 bn - bn²)/(2+bn)
= (- (1 + 2bn + bn²)/(2+bn)
= - (1 + bn)²/(2+ bn)
b) en déduire le sens de variation de (bn)
bn+1 - bn = - (1 + bn)²/(2+ bn) or (1+bn)² > 0 et bn > -2 donc
bn + 2 > 0 alors (1+bn)²/(2+bn) > 0 et - (1+bn)²/(2+bn) < 0
donc bn+1 - bn < 0 alors la suite (bn) est décroissante sur N
Explications étape par étape
